Terminale D · Leçon 2
Similitudes planes directes
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Déterminer l’application affine associée à l’application complexe z ↦ az + b, a et b complexes
- Déterminer les éléments caractéristiques d’une similitude plane directe
- Déterminer l’expression analytique d’une similitude plane directe
- Déterminer la forme complexe d’une similitude plane directe à partir de ses éléments caractéristiques
- Déterminer l’image de figures simples (droite, cercle) par une similitude plane directe
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Écriture complexe des transformations du plan
1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)
2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)
3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).
Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.