Terminale D · Leçon 6
Fonction exponentielle
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- Définition
- Représentation graphique
- Propriétés algébriques
- Dérivée
- Limites
- Définir la fonction exponentielle de base e
- Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle de base e lors de la résolution des problèmes
- Utiliser la dérivée de x ↦ e^u(x)
- Utiliser les limites suivantes, pour α réel : lim x^α / e^x = 0 en + ∞ ; lim e^x / x^α = + ∞ en + ∞ ; lim x^α e^(–x) = 0 en + ∞ ; lim (e^x – 1) / x = 1 en 0
- Fonctions : x ↦ a^x, a ∈ ℝ+* – {1}
- Déterminer la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Étudier et représenter la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Limite : la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1}) est introduite par a^x = e^(x ln a)
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]
\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]
\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | 1 | exactement 1 | \(\ln(1)=0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2)=2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2}=\sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | 5 | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.
Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln
La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | Somme → produit |
| Quotient | \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | Différence → quotient |
| Puissance | \(e^{na}=(e^a)^n\) | Produit → puissance |
| Inverse | \(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\) | Inverse → opposé |
| Racine | \(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\) | Racine → exposant ÷ 2 |
| Neutre | \(e^0=1\) | Exposant nul → valeur 1 |
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)
\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)
a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)
e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)
f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)
(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Dérivée d'une fonction composée
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Résumé
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.