Terminale D · Leçon 7
Exemples d’étude de fonctions
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Représentation graphique
- Résolutions d’équations et d’inéquations
- Point d’inflexion
- Utiliser la représentation graphique pour résoudre une équation, une inéquation
- Rechercher les directions asymptotiques, les asymptotes
- Déterminer la position de la courbe par rapport aux asymptotes
- Déterminer la position d’une courbe par rapport à sa tangente en un point donné
- Étudier des exemples de fonctions rationnelles, irrationnelles, trigonométriques, logarithmiques et exponentielles avec ou sans paramètre
- Limite : l’utilisation du paramètre se fait dans des cas simples
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Équations et inéquations avec radicaux
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Voir les offresFigure — \(\sqrt{2x+3}=x\), une seule vraie solution
Les courbes \(y=\sqrt{2x+3}\) et \(y=x\) ne se croisent qu'en \(x=3\) : \(x=-1\), trouvé après élévation au carré, est une solution parasite (la droite \(y=x\) y est négative, incompatible avec une racine carrée).
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Voir les offresÉquations et inéquations avec l'exponentielle
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Équations et inéquations avec ln
- Domaine de validité \(\mathcal{D}\) — tous les arguments de \(\ln\) doivent être \(>0\)
- Résoudre — utiliser les propriétés algébriques et la croissance de \(\ln\)
- Conclure — rejeter les solutions hors \(\mathcal{D}\), écrire l'ensemble solution \(S\)
\[\ln(A)=\ln(B)\Longleftrightarrow A=B \qquad \ln(A)<\ln(B)\Longleftrightarrow A<B\]
Dom. : \(2x-1>0\) et \(x+3>0\) → \(\mathcal{D}=\left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\)
Résol. : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\in\mathcal{D}\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln x>\ln(e^2)\Leftrightarrow x>e^2\) → \(S=\;]e^2;+\infty[\)
Dom. : \(x^2-4>0\) et \(3x>0\) → \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\)
Résol. : \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1\) (rejeté, hors \(\mathcal{D}\)) ou \(x=4\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln(x(x-1))=\ln 2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) (valide) ou \(x=-1\) (rejeté)
\(S=\{2\}\)
Dom. : \(x>-1\) et \(x<5\) → \(\mathcal{D}=]-1\,;\,5[\)
Résol. : \(x+1\leq 5-x\Rightarrow x\leq 2\)
\(S=]-1\,;\,2]\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape de conclusion
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier que \(A,B>0\)
Avant tout calcul impliquant \(\ln\), déterminer et écrire explicitement \(\mathcal{D}=\ldots\)
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(>0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection des conditions
- Écrire \(\mathcal{D}=\ldots\)
\(x^2-4>0\Leftrightarrow|x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
Erreur fréquente : écrire \(]-2\,;\,2[\) qui est l'ensemble interdit.
\(\mathcal{D}=\left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[\)
Tableau de signes de \(\dfrac{x}{x+1}\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | || | + | + | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | + | || | − | 0 | + |
\(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
\(x>0\) ET \(x>2\) → intersection → \(\mathcal{D}=]2\,;\,+\infty[\)
Erreur : faire l'union au lieu de l'intersection.
\(e^x>1=e^0\Rightarrow x>0\) → \(\mathcal{D}=]0\,;\,+\infty[\)
- Oublier de déterminer et d'écrire le domaine de définition
- Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) — FAUX
- Oublier \(u'\) dans \((\ln u)'=u'/u\)
- Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées en \(\pm\infty\)
- Commencer par écrire \(\mathcal{D}=\ldots\) avant tout calcul
- Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3 des équations)
- Utiliser la croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- Invoquer les croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Équations et inéquations trigonométriques
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Voir les offresAsymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
\(x=a\) est une AV si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\). On la cherche là où \(f\) n'est pas définie.
\(y=\ell\) est une AH en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\).
\(y=ax+b\) (\(a\neq 0\)) est une AO en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).
- Calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
- Si \(a\) fini et \(\neq 0\), calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]\)
- Si \(b\) fini → \(y=ax+b\) est l'AO
Raccourci pour les fractions rationnelles : effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Pour \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\) :
\[x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \implies f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}\]
\(\dfrac{2}{x+1}\to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y=x+1\) est l'asymptote oblique.
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
Interprétation géométrique : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=a\).
Équation de la tangente en \(a\) : \(\quad y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Figure interactive — Tangente en mouvement
En x=±1, la tangente est horizontale (f′=0) : ce sont les extremums locaux. Entre −1 et 1, f′<0 : f est décroissante.
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
- Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)
\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).
\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
Étude d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré \(n\) est une fonction de la forme \[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,\] où les \(a_i\) sont des réels et \(a_n \neq 0\). Son domaine de définition est toujours \(\mathbb{R}\) tout entier : il n'y a aucune valeur interdite.
Si \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), alors \[f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1.\] En pratique on dérive terme à terme : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((ax)' = a\), \((a)' = 0\).
Sur un intervalle où \(f'(x) > 0\), la fonction \(f\) est strictement croissante. Sur un intervalle où \(f'(x) < 0\), elle est strictement décroissante. En un point \(x_0\) où \(f'(x_0) = 0\) et où \(f'\) change de signe, \(f\) admet un extremum local.
- Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\) toujours.
- Dériver \(f\) terme à terme pour obtenir \(f'\).
- Factoriser \(f'\) (mise en facteur, identités remarquables, facteur commun) pour déterminer facilement son signe.
- Tableau de signes de \(f'\) puis tableau de variations de \(f\).
- Calculer les valeurs en les points critiques et aux extrémités (ou limites en \(\pm\infty\)).
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). On dérive terme à terme : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).
Le produit \(3(x-1)(x+1)\) est positif quand les deux facteurs sont de même signe, négatif quand ils sont de signes opposés. On obtient : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), et \(f'(x) < 0\) sur \(]-1\,;1[\).
Ainsi \(f\) est croissante, puis décroissante, puis croissante. Les extrema locaux sont : maximum \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\) et minimum \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\).
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\). On reconnaît une identité remarquable : \(f(x) = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 \geq 0\).
Dérivée : \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\). C'est un produit de trois facteurs linéaires de coefficient dominant \(4 > 0\). Tableau de signe :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La fonction admet deux minimums globaux en \(x = \pm 1\) (valeur \(0\)) et un maximum local en \(x = 0\) (valeur \(1\)).
Soit \(g(x) = x^4 - 8x^2 + 12\). Alors \(g'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)\). Les racines de \(g'\) sont \(x = -2, 0, 2\).
Valeurs remarquables : \(g(-2) = 16 - 32 + 12 = -4\), \(g(0) = 12\), \(g(2) = 16 - 32 + 12 = -4\). La courbe possède donc deux minimums globaux (\(-4\)) et un maximum local (\(12\)).
Quand \(f'(x_0) = 0\), on dit que \(x_0\) est un point critique, mais cela ne signifie pas forcément un extremum. Si \(f'\) ne change pas de signe en \(x_0\) — par exemple \(h(x) = x^3\) avec \(h'(0) = 0\) mais \(h'\) reste positive de part et d'autre — alors il n'y a pas d'extremum, seulement un point d'inflexion à tangente horizontale. Toujours vérifier le changement de signe.
Pour un polynôme \(f(x) = a_n x^n + \cdots\), le comportement en \(\pm\infty\) est dicté par \(a_n x^n\) seul. Si \(a_n > 0\) et \(n\) pair : \(f \to +\infty\) des deux côtés. Si \(a_n > 0\) et \(n\) impair : \(f \to -\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. Ces informations guident la lecture du tableau de variations avant même de calculer.
Figure III.1 — Polynôme de degré 3 : exploration interactive
\(f'(x)\)
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
\[\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\qquad\text{(asymptote verticale }x=0\text{)}\]
\[\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\]
\[\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}\qquad\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u>0)\]
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus fréquente. Mémo : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x)=\ln(2x+1)\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x)=\ln(x^2+1)\) → \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x)=x^2\ln(x)\) → \(h'(x)=2x\ln(x)+x=x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\) → \(k'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) est différent de \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\)).
\(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
\[\ln(a)=\ln(b)\Longleftrightarrow a=b \qquad \ln(a)<\ln(b)\Longleftrightarrow a<b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=\ln(x)\)
La pente de la tangente en a est f′(a)=1/a. Plus a est grand, plus la courbe s'aplatit. Activez y=1/x pour voir la courbe dérivée converger vers 0.
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
Fonctions cosinus et sinus
Rappel de SecondeLes fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)). On dit que \(f\) admet pour limite \(\ell\) en \(a\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) qu'on le souhaite pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\) :
\[\lim_{x \to a} f(x) = \ell\]
On définit de même les limites à gauche \(\displaystyle\lim_{x \to a^-}\) et à droite \(\displaystyle\lim_{x \to a^+}\), ainsi que les limites en \(\pm\infty\).
La limite existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Pour toute fonction définie par morceaux, vérifier systématiquement les deux côtés.
| Fonction | En \(+\infty\) | En \(-\infty\) |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n>0\)) | \(+\infty\) | \(+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n>0\)) | \(0\) | \(0\) |
| \(e^x\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\ln x\) | \(+\infty\) | non définie |
Limites fondamentales :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\]
Si \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) et \(\lim_{x\to a}g(x)=\ell'\), alors \(\lim(f+g)=\ell+\ell'\), \(\lim(f\cdot g)=\ell\cdot\ell'\), et \(\lim\frac{f}{g}=\frac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell'\neq 0\).
Résumé
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\) · \(\mathbb{D}=]0;+\infty[\) · \(\ln 1=0\) · \(\ln e=1\) · \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) · \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) · \(\ln(a^n)=n\ln a\) · \(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) · \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{0^+}\ln x=-\infty\) · \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\) · \(\frac{\ln x}{x^n}\to 0\) · \(x^n\ln x\to 0\)
3 étapes : \(\mathcal{D}\) → Résoudre → Conclure · \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) · \(\ln A<\ln B\Leftrightarrow A<B\)
Écrire \(\mathcal{D}\) en premier · Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\) · Croissances comparées pour les limites
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Domaine toujours \(\mathbb{R}\). Dériver terme à terme, factoriser \(f'\), dresser le tableau de signes. Le coefficient dominant détermine le comportement en \(\pm\infty\).
Dénominateur nul, numérateur non nul. Analyser les signes à gauche et à droite pour savoir si \(f \to +\infty\) ou \(-\infty\).
Diviser par la plus haute puissance. Si \(\deg P = \deg Q\) : limite = rapport des coefficients dominants. Si \(\deg P < \deg Q\) : limite = 0.
Division euclidienne de \(P\) par \(Q\) quand \(\deg P = \deg Q + 1\). Écrire \(f(x) = mx + p + \frac{r(x)}{Q(x)}\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Si le résultat est \(\dfrac{k}{v^2}\) avec \(k\) constant, le signe de \(f'\) est celui de \(k\).
Si \(f'(x_0) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion. Toujours vérifier le changement de signe avant de conclure.
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Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \[f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}.\]
Question 1 — Domaine et simplification éventuelle.
Le seul réel interdit est \(x = 2\) (racine du dénominateur). Factorisons le numérateur : \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). On obtient donc \[f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \quad \text{pour } x \neq 2.\] La valeur \(x = 2\) est exclue du domaine, mais la courbe est en réalité la droite \(y = x + 1\) avec un trou en \((2\,;\,3)\). Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique proprement dite.
Question 2 — Dérivée et variations.
Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = x + 1\) donc \(f'(x) = 1 > 0\) partout sur le domaine. La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\).
Question 3 — Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de simplification.
Division euclidienne : \(x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2\), donc \(g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) et asymptote oblique \(y = x + 1\).
Dérivée :
\[ g'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}. \]\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Soit \(x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\).
Question 4 — Tableau de variations de \(g\).
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) toujours, le signe de \(g'\) est celui de \((x-1)^2 - 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(x_1+1+\frac{2}{x_1-1}\) | \(\searrow\) | || | \(\searrow\) | \(x_2+1+\frac{2}{x_2-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Valeur au maximum local : \(g(x_1) = (1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0{,}83\). Valeur au minimum local : \(g(x_2) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\).
Question 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
On a \(g(x) - (x+1) = \dfrac{2}{x-1}\). Ce reste est positif quand \(x > 1\) (la courbe est au-dessus de l'asymptote) et négatif quand \(x < 1\) (la courbe est en-dessous). La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique, mais est de part et d'autre selon la branche considérée.
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