Terminale D · Leçon 8
Calcul intégral
Ce que dit le programme officiel (17 points)
- Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle : définition
- Propriétés : relation de Chasles ; linéarité ; positivité ; inégalité de la moyenne
- Valeur moyenne d’une fonction
- Définir l’intégrale d’une fonction
- Utiliser les propriétés de l’intégrale dans la résolution des problèmes
- Limite : la théorie de l’intégrale de Riemann est hors programme ; l’intégrale de a à b d’une fonction f continue sur un intervalle I est définie comme le réel F(b) – F(a), indépendant du choix de la primitive F
- Techniques de calcul intégral : intégration par primitivation
- Intégration par changement de variable
- Intégration par parties
- Utiliser les techniques de calcul intégral (formules des primitives usuelles, intégration par parties, changement de variables affines) pour calculer des intégrales
- Applications de l’intégration : encadrements à l’aide d’intégrales
- Calcul d’aires
- Calcul de volumes
- Déterminer une valeur approchée d’une intégrale
- Calculer l’aire d’un domaine plan
- Calculer des volumes (pyramide, cône et boule)
- Limite : on utilise la méthode des rectangles pour déterminer une valeur approchée d’une intégrale
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
Valeur moyenne, intégrale et inégalités
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.
\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]
\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]
Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\).
Primitives : définition, primitives usuelles
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Intégration par parties
\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]
Arctan
Log ln(x)
Polynôme
Expo eˣ
Sin / Cos
Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP
L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.
Intégrale et aire, aire entre deux courbes
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]
| Cas | Condition | Formule de l'aire |
|---|---|---|
| Cas 1 | \(f\geq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\) |
| Cas 2 | \(f\leq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right|\) |
| Cas 3 | \(f\) change de signe en \(c\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^c f\right|+\left|\displaystyle\int_c^b f\right|\) |
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.
\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]
\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]
Figure interactive — Aire entre deux courbes
L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.
Volumes de solides de révolution
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine délimité par les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\!\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\) u.a. Quand les courbes se croisent, repérer les points d'intersection, puis découper l'intervalle avec la relation de Chasles.
Sur \([0\,;1]\), on a \(\sqrt{x} \ge x^2\) :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{1}\!\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ \text{u.a.}\]Sur \([0\,;\pi/2]\), les deux fonctions se croisent en \(x = \pi/4\). On applique Chasles :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\!(\sin x - \cos x)\,dx = 2(\sqrt{2}-1)\ \text{u.a.}\]Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine délimité par la courbe de \(f\) (continue, positive sur \([a\,;b]\)) et l'axe des abscisses a pour volume :
\[V = \pi\int_{a}^{b}\!\bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.\]On fait tourner \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) sur \([-R\,;R]\) :
\[V = \pi\int_{-R}^{R}\!\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \pi\left[R^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.\]Rotation de \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) sur \([0\,;h]\) :
\[V_{\text{cône}} = \pi\int_{0}^{h}\!\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.\]Aire entre deux courbes — choix interactif
\(g\)
aire \(\int(f-g)\)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles
La surface colorée représente l'aire algébrique entre les deux courbes. On l'obtient en intégrant la différence \(f - g\) (en valeur absolue si les courbes se croisent).
Encadrements et valeurs approchées
Rappel de SecondeEn pratique, un résultat exact est rarement utile tel quel : on travaille avec une valeur approchée, à une précision donnée. Le programme se limite volontairement à des encadrements simples — pas de recherche systématique de tous les majorants et minorants possibles.
Une valeur approchée d'un réel \(x\) à \(10^{-n}\) près est un réel \(a\) tel que \(|x - a| \le 10^{-n}\). L'approximation décimale d'ordre \(n\) par défaut de \(x\) est le plus grand décimal à \(n\) chiffres après la virgule inférieur ou égal à \(x\) ; par excès, le plus petit supérieur ou égal à \(x\). L'arrondi d'ordre \(n\) est la valeur approchée décimale à \(n\) chiffres la plus proche de \(x\).
Le programme se limite à l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit et d'un quotient de deux réels strictement positifs.
Somme et différence. Si \(3{,}1 \le x \le 3{,}2\) et \(1{,}4 \le y \le 1{,}5\), alors \(4{,}5 \le x+y \le 4{,}7\) (on additionne les bornes de même sens) et \(1{,}6 \le x - y \le 1{,}8\) (on soustrait les bornes opposées : minorant de \(x\) moins majorant de \(y\), et inversement).
Produit. Si \(2 \le x \le 2{,}1\) et \(5 \le y \le 5{,}2\) (deux réels strictement positifs), alors \(10 \le xy \le 10{,}92\) (produit des bornes inférieures d'un côté, des bornes supérieures de l'autre).
Quotient. Avec les mêmes encadrements, \(\dfrac{2}{5{,}2} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2{,}1}{5}\), c'est-à-dire \(0{,}384\ldots \le \dfrac{x}{y} \le 0{,}42\) (on divise par les bornes en croisant : borne inférieure de \(x\) sur borne supérieure de \(y\), et inversement).
Facile. \(\pi \approx 3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ; \(3{,}15\) en est une par excès.
Intermédiaire. On donne \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) : \(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\).
Ordre de grandeur. Estimer \(\dfrac{4\,987 \times 0{,}0203}{9{,}8}\) sans calculatrice : on remplace par des valeurs proches simples, \(\dfrac{5\,000 \times 0{,}02}{10} = \dfrac{100}{10} = 10\). L'ordre de grandeur du résultat est \(10\).
Figure interactive — Encadrement d'une somme
Les deux intervalles bleus représentent \(x\) et \(y\) ; l'intervalle vert en dessous représente l'encadrement obtenu pour \(x + y\), largeur cumulée des deux.
Résumé
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
\(\displaystyle\int_a^b\!f = F(b)-F(a)\). Aire sous la courbe si \(f\ge0\) et \(a\le b\).
Linéarité, Chasles (pour tout \(c\)), positivité et croissance si \(a \le b\). \(\displaystyle\big|\int f\big|\le\int|f|\).
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b\!f\). Encadrée par le minimum et le maximum de \(f\).
\(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\). Dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\!(f-g)\) avec \(f\ge g\). Chasles si les courbes se croisent.
\(V = \pi\displaystyle\int_a^b\![f(x)]^2\,dx\). Retrouver \(\frac{4}{3}\pi R^3\) et \(\frac{1}{3}\pi R^2 h\).
Sujet type Bac
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².
On considère \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\,e^{-x}\).
Question 1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
Comme \(e^{-x} > 0\), on a \(f'(x) \le 0\) sur \([0\,;+\infty[\). \(f\) est décroissante sur cet intervalle. \(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0\).
Question 2. Montrer que \(F(x) = -(x+2)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,dx\) et interpréter.
Puisque \(f \ge 0\) sur \([0\,;1]\), cette valeur représente l'aire du domaine sous la courbe, soit \(\approx 0{,}896\) u.a.
Question 4. Calculer \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x(x+1)\,e^{-x}\,dx\) par IPP.
On pose \(u'(x) = f(x) = (x+1)e^{-x}\) (primitive \(F(x) = -(x+2)e^{-x}\)) et \(v(x) = x\) :
\[J = \Big[x\cdot(-(x+2)e^{-x})\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = -\frac{3}{e} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx.\]Or \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = I + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \left(2-\frac{3}{e}\right) + \left(1-\frac{1}{e}\right) = 3 - \frac{4}{e}\). Donc :
\[J = -\frac{3}{e} + 3 - \frac{4}{e} = 3 - \frac{7}{e} \approx 0{,}425.\]Question 5. Calculer le volume \(V\) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de \((Ox)\) sur \([0\,;1]\).
On développe \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) et on calcule par IPP successive. Le résultat est :
\[V = \frac{\pi}{4}\!\left(1 - \frac{5}{e^2}\right) \approx 0{,}648\ \text{u.v.}\]