Terminale D · Leçon 3
Suites numériques
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Convergence d'une suite géométrique
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Nature d'une suite (arithmétique ou géométrique)
Exercice 1 — Nature d'une suite
Déterminer la nature, la raison et le terme général.
1. $(u_n)$ : $u_0=5$, $u_{n+1}=u_n+4$
2. $(v_n)$ : $v_0=3$, $v_{n+1}=2v_n$
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- $u_{n+1}-u_n=4$ → arithmétique, $r=4$, $u_0=5$ → $\boxed{u_n=5+4n}$
- $v_{n+1}/v_n=2$ → géométrique, $q=2$, $v_0=3$ → $\boxed{v_n=3\times2^n}$
Terme général et calcul de somme
Exercice 2 — Terme général et somme
$(u_n)$ arithmétique : $u_1=7$, raison $r=3$.
1. $u_n$ 2. $u_{20}$ 3. $S=u_1+\cdots+u_{20}$
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- $u_n=7+3(n-1)$ → $\boxed{u_n=3n+4}$
- $u_{20}=64$
- $S=\dfrac{20\times(7+64)}{2}=\boxed{710}$
Démonstration par récurrence
Exercice 1 — Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.
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- Initialisation
Pour $n=0$ : $3^0=1 \ge 2\times0+1=1$. ✓ - Hérédité
On suppose $3^n \ge 2n+1$. Alors $$3^{n+1} = 3\times3^n \ge 3(2n+1) = 6n+3 = (2n+3)+4n \ge 2n+3 = 2(n+1)+1$$ (car $4n\ge0$). - Conclusion
La propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Suite géométrique
Exercice 2 — Suite géométrique
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.
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- Formule
$u_6 = u_0\,q^6 = 3\times2^6$. - Résultat
$u_6 = 3\times64 = 192$.
Convergence, limite et comparaison de suites
Exercice 4 — Convergence
$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.
Application financière — niveau Bac
Exercice 6 — Application financière
50 000 FCFA à 5%/an, retrait 3 000 FCFA/an. $C_n$ capital après $n$ ans.
Récurrence, forme explicite, $C_5$, $C_{10}$, quand $C_n>100000$ ?
Point fixe : suite récurrente en $\sqrt{\ }$
Exercice 4 — Point fixe
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.
Suite auxiliaire géométrique
Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Somme géométrique et limite
Exercice 4 — Somme géométrique et limite
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Application : intérêts composés
Exercice 5 — Intérêts composés
On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.