Terminale D · Leçon 2
Similitudes planes directes
Exercices corrigés
Transformations du plan complexe — type Bac
Exercice 5 — Similitude : $f(z)=(1+i)z+2-i$
1. Rapport $k$, angle 2. Point fixe $\Omega$ 3. $f(1+2i)$ 4. Image de $|z-1|=2$ 5. $f\circ f$
Voir le corrigé
- Rapport $k$ et angle $\theta$
$f(z) = az + b$ avec $a = 1+i$.
$k = |a| = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \boxed{\sqrt{2}}$ (agrandissement de rapport $\sqrt{2}$)
$\theta = \arg(a) = \arg(1+i) = \boxed{\dfrac{\pi}{4}}$ (rotation d'angle $45°$)
C'est une similitude directe de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$. - Point fixe $\Omega$
$f(\Omega) = \Omega \Rightarrow (1+i)\Omega + 2-i = \Omega \Rightarrow i\Omega = -(2-i) = -2+i$
$\Omega = \dfrac{-2+i}{i} = \dfrac{(-2+i)\cdot(-i)}{i\cdot(-i)} = \dfrac{2i-i^2}{1} = 1 + 2i$
$$\boxed{\Omega = 1+2i}$$ Le centre de la similitude est le point $\Omega(1\,;\,2)$. - Image de $z_0 = 1+2i$
$f(1+2i) = (1+i)(1+2i) + 2-i$
$(1+i)(1+2i) = 1+2i+i+2i^2 = 1+3i-2 = -1+3i$
$f(1+2i) = -1+3i+2-i = \boxed{1+2i}$ ✓ (c'est bien $\Omega$, point fixe) - Image du cercle $|z-1|=2$
Le cercle a pour centre $\omega_0 = 1$ (d'affixe 1) et rayon $r=2$.
Image du centre : $f(1) = (1+i)\cdot 1 + 2-i = 1+i+2-i = 3$
Image du rayon : $k\cdot r = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}$
L'image est le cercle de centre 3 et de rayon $2\sqrt{2}$, soit $|z-3| = 2\sqrt{2}$. - $f \circ f$
$f(f(z)) = (1+i)[(1+i)z+2-i]+2-i = (1+i)^2 z + (1+i)(2-i)+2-i$
$(1+i)^2 = 2i$ · $(1+i)(2-i) = 2-i+2i-i^2 = 2+i+1 = 3+i$
$f\circ f(z) = 2iz + (3+i) + (2-i) = 2iz + 5$
$$\boxed{f\circ f(z) = 2iz + 5}$$ C'est une similitude de rapport $|2i|=2$ et d'angle $\arg(2i)=\dfrac{\pi}{2}$.
Image d'un cercle par une similitude directe
Exercice 6 — Image d'un cercle
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.
1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.
Reconnaître une similitude directe et trouver ses éléments
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère l'application \(s\) qui, à tout point \(M\) d'affixe \(z\), associe le point \(M'\) d'affixe \(z'=(1+i)z+2-i\).
1) Justifie que \(s\) est une similitude directe, puis détermine son rapport et son angle.
2) Détermine l'affixe du centre \(\Omega\) de \(s\).
3) On note \(A\) le point d'affixe 1 et \(B\) le point d'affixe \(i\). Calcule les affixes de leurs images \(A'\) et \(B'\), puis vérifie sur les longueurs \(AB\) et \(A'B'\) le rapport trouvé.
Voir le corrigé
1) L'écriture est de la forme \(z'=az+b\) avec \(a=1+i\), non nul, et \(b=2-i\) : \(s\) est une similitude directe. Son rapport est \(|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\). Son angle est un argument de \(a\) : comme \(1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\), l'angle est \(\dfrac{\pi}{4}\). Le nombre \(a\) est différent de 1, donc \(s\) n'est pas une translation et possède un unique point invariant.
2) Le centre est le point invariant : son affixe \(\omega\) vérifie \(\omega=(1+i)\omega+2-i\), soit \(-i\,\omega=2-i\). Donc \(\omega=\dfrac{2-i}{-i}\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(i\) : \(\omega=\dfrac{(2-i)\,i}{-i^2}=\dfrac{2i+1}{1}=1+2i\). Contrôle : \((1+i)(1+2i)+2-i=(1+2i+i-2)+2-i=1+2i\).
3) Pour \(A\) : \(z'=(1+i)\times 1+2-i=3\), donc \(A'\) a pour affixe 3. Pour \(B\) : \(z'=(1+i)\,i+2-i=i-1+2-i=1\), donc \(B'\) a pour affixe 1. Alors \(AB=|i-1|=\sqrt2\) et \(A'B'=|1-3|=2\). On a bien \(A'B'=\sqrt2\times AB\), puisque \(\sqrt2\times\sqrt2=2\).
Réponse : \(s\) est la similitude directe de rapport \(\sqrt2\), d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) et de centre \(\Omega\) d'affixe \(1+2i\) ; \(A'\) a pour affixe 3 et \(B'\) pour affixe 1 ; \(A'B'=2=\sqrt2\times AB\).
De la description à l'écriture complexe, images d'un cercle et d'une droite
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On note \(s\) la similitude directe de centre \(\Omega\) d'affixe 2, de rapport 2 et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1) Détermine l'écriture complexe de \(s\).
2) Déduis-en son expression analytique : les coordonnées \(x'\) et \(y'\) de l'image en fonction des coordonnées \(x\) et \(y\) du point de départ.
3) Détermine l'image par \(s\) du cercle \(\mathcal C\) de centre \(A\) d'affixe \(3+i\) et de rayon 1.
4) Détermine l'image par \(s\) de l'axe des abscisses.