Terminale D · Leçon 12
Séries statistiques à deux variables (doubles)
Exercices corrigés
Nuage de points — moyennes — centre de gravité $G$
Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité
Un lycée relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :
| Élève | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x (Maths) | 8 | 10 | 12 | 14 | 9 | 11 | 15 | 13 |
| y (Physique) | 7 | 9 | 11 | 13 | 8 | 10 | 14 | 12 |
1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.
3. Que remarque-t-on visuellement ?
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- $\bar{x}=\dfrac{8+10+12+14+9+11+15+13}{8}=\dfrac{92}{8}=\boxed{11{,}5}$
$\bar{y}=\dfrac{7+9+11+13+8+10+14+12}{8}=\dfrac{84}{8}=\boxed{10{,}5}$ - Centre de gravité : $G(11{,}5\,;\,10{,}5)$
- Les points sont très bien alignés → forte corrélation linéaire positive entre les notes de Maths et de Physique.
Droite de régression des moindres carrés $y=ax+b$
Exercice 2 — Régression linéaire
Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :
| Année $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| CA $y$ | 12 | 15 | 17 | 20 | 24 |
Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$ $b=\bar{y}-a\bar{x}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.
2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.
3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.
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- $\bar{x}=3$ · $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+20+24}{5}=\dfrac{88}{5}=17{,}6$
$\overline{xy}=\dfrac{1\times12+2\times15+3\times17+4\times20+5\times24}{5}=\dfrac{12+30+51+80+120}{5}=\dfrac{293}{5}=58{,}6$
$\overline{x^2}=\dfrac{1+4+9+16+25}{5}=\dfrac{55}{5}=11$ - $a=\dfrac{58{,}6-3\times17{,}6}{11-9}=\dfrac{58{,}6-52{,}8}{2}=\dfrac{5{,}8}{2}=\boxed{2{,}9}$
$b=17{,}6-2{,}9\times3=17{,}6-8{,}7=\boxed{8{,}9}$
Droite : $\boxed{y=2{,}9x+8{,}9}$ - Année 6 : $y=2{,}9\times6+8{,}9=\boxed{26{,}3}$ M FCFA
Année 8 : $y=2{,}9\times8+8{,}9=\boxed{32{,}1}$ M FCFA
Coefficient de corrélation linéaire $r$ — interprétation
Exercice 3 — Coefficient de corrélation
Températures moyennes mensuelles ($x$, en °C) et consommation d'eau (en milliers de litres $y$) dans une ville :
| $x$ | 20 | 24 | 28 | 30 | 32 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 40 | 52 | 60 | 65 | 70 | 55 |
Formule : $r=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$ avec $\sigma_x=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\overline{xy}$.
2. Calculer $r$. Interpréter.
3. Peut-on utiliser un ajustement linéaire ? Si oui, déterminer la droite de régression.
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- $\bar{x}=\dfrac{20+24+28+30+32+26}{6}=\dfrac{160}{6}\approx26{,}67$ · $\bar{y}=\dfrac{40+52+60+65+70+55}{6}=\dfrac{342}{6}=57$
$\overline{x^2}=\dfrac{400+576+784+900+1024+676}{6}=\dfrac{4360}{6}\approx726{,}67$ → $\sigma_x=\sqrt{726{,}67-711{,}11}\approx\sqrt{15{,}56}\approx3{,}94$
$\overline{y^2}=\dfrac{1600+2704+3600+4225+4900+3025}{6}=\dfrac{20054}{6}\approx3342{,}3$ → $\sigma_y=\sqrt{3342{,}3-3249}\approx\sqrt{93{,}3}\approx9{,}66$
$\overline{xy}=\dfrac{800+1248+1680+1950+2240+1430}{6}=\dfrac{9348}{6}=1558$ - $r=\dfrac{1558-26{,}67\times57}{3{,}94\times9{,}66}=\dfrac{1558-1520{,}2}{38{,}06}=\dfrac{37{,}8}{38{,}06}\approx\boxed{0{,}993}$
$r\approx0{,}993$ : corrélation très forte et positive — la chaleur explique presque entièrement la consommation d'eau. - $|r|>0{,}99$ → ajustement linéaire parfaitement justifié.
$a=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}=0{,}993\times\dfrac{9{,}66}{3{,}94}\approx2{,}43$ · $b=57-2{,}43\times26{,}67\approx57-64{,}8\approx-7{,}8$
Droite : $\boxed{y\approx2{,}43x-7{,}8}$
Ajustement affine complet — prévision et résidus
Exercice 4 — Production agricole
Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :
| Pluie $x$ (mm) | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Production $y$ (t) | 120 | 150 | 195 | 230 | 270 | 310 |
1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.
2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.
3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.
4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.
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- $\bar{x}=650$ · $\bar{y}=212{,}5$ · $\overline{xy}=\dfrac{400\times120+\cdots+900\times310}{6}=\dfrac{893000}{6}\approx148833$
$\overline{x^2}=\dfrac{400^2+\cdots+900^2}{6}=\dfrac{2870000}{6}\approx478333$
$a=\dfrac{148833-650\times212{,}5}{478333-422500}=\dfrac{148833-138125}{55833}=\dfrac{10708}{55833}\approx\boxed{0{,}3755}$
$b=212{,}5-0{,}3755\times650\approx212{,}5-244\approx\boxed{-31{,}6}$
Droite : $\boxed{\hat{y}=0{,}376x-31{,}6}$ - $\sigma_x\approx182{,}6$ · $\sigma_y\approx64{,}5$ · $r=\dfrac{a\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{0{,}376\times182{,}6}{64{,}5}\approx\boxed{0{,}995}$ → ajustement excellent.
- $x=750$ : $\hat{y}=0{,}376\times750-31{,}6\approx\boxed{250}$ t
$x=1000$ : $\hat{y}=0{,}376\times1000-31{,}6\approx\boxed{344}$ t (extrapolation — prudence !) - Résidus : $e_1\approx+0{,}4$ · $e_2\approx-0{,}5$ · $e_3\approx+3{,}1$ · $e_4\approx-2{,}4$ · $e_5\approx+0{,}4$ · $e_6\approx-1{,}0$
Très petits → la droite est une bonne représentation.
Ajustement puissance $y=ax^b$ et logarithmique
Exercice 6 — Ajustement puissance
Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :
| $x$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 48 | 76 | 121 | 192 |
1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$. 2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$. 3. Déduire $a$, $b$. 4. Prévision pour $x=600$. 5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.
Série chronologique — tendance et moyennes mobiles
Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité
Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 3 ans :
| Trimestre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes | 80 | 120 | 95 | 70 | 90 | 135 | 108 | 82 | 102 | 150 | 122 | 95 |
1. Tracer la série. 2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4. 3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles. 4. Coefficients saisonniers. 5. Prévision du trimestre 13.
Test du $\chi^2$ d'indépendance — tableau de contingence
Exercice 8 — Test χ² et tableau de contingence
Enquête sur 200 élèves : résultats au Bac (Admis/Ajourné) selon la filière (Scientifique / Littéraire / Technique) :
| Scientifique | Littéraire | Technique | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Admis | 60 | 40 | 30 | 130 |
| Ajourné | 20 | 30 | 20 | 70 |
| Total | 80 | 70 | 50 | 200 |
1. Calculer les effectifs théoriques $e_{ij}=\dfrac{(\text{total ligne}_i)\times(\text{total col}_j)}{n}$.
2. Calculer $\chi^2=\displaystyle\sum_{i,j}\dfrac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$.
3. À l'aide de la table χ² (ddl=2, seuil 5% → valeur critique 5,99) : conclure sur l'indépendance.
Problème complet type Bac — régression et prévision
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :
| $x$ (années) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (k FCFA) | 85 | 95 | 112 | 135 | 155 | 178 | 200 |
Partie A — Ajustement linéaire
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.
2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.
Partie B — Ajustement exponentiel
3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.
4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?
Partie C — Application
5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?
Méthode de Mayer
Exercice 6 — Méthode de Mayer
Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.