Terminale D · Leçon 5
Propriétés des fonctions continues ou dérivables sur un intervalle
Exercices corrigés
Calcul de dérivées usuelles
Exercice 2 — Calcul de dérivées usuelles
Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$
2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$
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- Dérivée de $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ : On dérive terme à terme avec $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $$\boxed{f'(x) = 9x^2 - 10x + 2}$$
- Dérivée de $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ avec $(uv)' = u'v + uv'$ : $$u' = 2 \qquad v' = 2x$$ $$f'(x) = 2(x^2-3)+(2x+1)(2x) = 2x^2-6+4x^2+2x$$ $$\boxed{f'(x) = 6x^2 + 2x - 6}$$
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
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- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Existence et encadrement d'une solution
Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution
Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
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- Continuité et signe aux bornes
$f(x) = x^3+x-1$ est continue sur $[0;1]$ (polynôme). $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. - Stricte monotonie
$f'(x) = 3x^2+1 > 0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. - Conclusion (TVI + monotonie)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule au moins une fois sur $]0;1[$ ; la stricte monotonie garantit l'unicité. Il existe donc un unique $\alpha \in ]0;1[$ tel que $f(\alpha)=0$. - Encadrement
$f(0{,}6) = 0{,}216+0{,}6-1 = -0{,}184 < 0$ et $f(0{,}7) = 0{,}343+0{,}7-1 = 0{,}043 > 0$. Donc $\alpha \in ]0{,}6\,;0{,}7[$.
Une application astucieuse du TVI
Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)
Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.
Point fixe de la fonction cosinus
Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus
On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.