Terminale D · Leçon 10
Probabilité sur un ensemble fini
Exercices corrigés
Probabilités classiques — événements et diagramme de Venn
Exercice 3 — Probabilités et événements
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
Soit $A$ = "obtenir un as" et $B$ = "obtenir un cœur".
1. $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$. 2. $P(A\cup B)$ par la formule d'inclusion-exclusion. 3. $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$. 4. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Voir le corrigé
- $P(A)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$ · $P(B)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$ · $P(A\cap B)=\dfrac{1}{52}$ (as de cœur).
- $P(A\cup B)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{52}=\dfrac{4+13-1}{52}=\boxed{\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}}$
- $P(\bar{A})=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13}$ · $P(\bar{B})=\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$
- $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{13}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{52}=P(A\cap B)$ → $A$ et $B$ sont indépendants. ✓
Probabilités conditionnelles — formule de Bayes
Exercice 4 — Test médical et formule de Bayes
Une maladie touche 1% de la population ($P(M)=0{,}01$). Un test détecte la maladie avec :
$P(+|M)=0{,}99$ (sensibilité) · $P(-|\bar{M})=0{,}95$ (spécificité), donc $P(+|\bar{M})=0{,}05$.
1. Compléter l'arbre des probabilités.
2. $P(+)$ par la loi des probabilités totales.
3. $P(M|+)$ par la formule de Bayes — commenter.
Voir le corrigé
- Arbre : $M$ (0,01) → $+$ (0,99) : proba $0{,}0099$ · $M$ → $-$ (0,01) : proba $0{,}0001$
$\bar{M}$ (0,99) → $+$ (0,05) : proba $0{,}0495$ · $\bar{M}$ → $-$ (0,95) : proba $0{,}9405$ - $P(+)=P(+|M)\cdot P(M)+P(+|\bar{M})\cdot P(\bar{M})=0{,}0099+0{,}0495=\boxed{0{,}0594}$
- $P(M|+)=\dfrac{P(+|M)\cdot P(M)}{P(+)}=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0594}\approx\boxed{16{,}7\%}$
Remarque : même avec un test très fiable, si la maladie est rare, un résultat positif ne signifie la maladie que dans ~17% des cas (paradoxe de Bayes).
Tirage simultané de deux boules
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne.
1) Combien y a-t-il de tirages possibles ? Pourquoi peut-on utiliser la formule « cas favorables sur cas possibles » ?
2) Calcule la probabilité de l'événement \(A\) : « les deux boules sont blanches ».
3) Calcule la probabilité de l'événement \(B\) : « les deux boules sont de couleurs différentes ».
4) Calcule de deux façons la probabilité de l'événement \(D\) : « on obtient au moins une boule blanche ».
Voir le corrigé
1) Un tirage est une partie de 2 boules parmi 10, l'ordre ne compte pas : \(\text{Card}(\Omega)=C_{10}^2=\dfrac{10\times 9}{2}=45\). Les boules sont indiscernables au toucher, donc tous les tirages ont la même probabilité : il y a équiprobabilité.
2) Les cas favorables sont les parties de 2 boules parmi les 4 blanches : \(C_4^2=\dfrac{4\times 3}{2}=6\). Donc \(P(A)=\dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}\).
3) Il faut une boule blanche parmi 4 et une boule noire parmi 6 : \(4\times 6=24\) tirages. Donc \(P(B)=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15}\).
4) Première façon : le contraire de \(D\) est « aucune boule blanche », c'est-à-dire deux noires, soit \(C_6^2=15\) tirages ; \(P(D)=1-\dfrac{15}{45}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\). Seconde façon : \(D\) est la réunion des événements incompatibles \(A\) et \(B\), donc \(P(D)=\dfrac{2}{15}+\dfrac{8}{15}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\). Les deux résultats concordent.
Réponse : \(\text{Card}(\Omega)=45\) ; \(P(A)=\dfrac{2}{15}\) ; \(P(B)=\dfrac{8}{15}\) ; \(P(D)=\dfrac{2}{3}\).
Probabilités conditionnelles à partir d'un tableau d'effectifs
Un lycée compte 200 élèves de Terminale : 120 filles et 80 garçons. Parmi eux, 45 filles et 35 garçons sont inscrits au club scientifique. On choisit un élève de Terminale au hasard. On note \(F\) l'événement « l'élève est une fille » et \(S\) l'événement « l'élève est inscrit au club scientifique ».
1) Calcule \(P(F)\), \(P(S)\) et \(P(F\cap S)\).
2) Calcule \(P_F(S)\) et \(P_S(F)\). Traduis chaque résultat par une phrase.
3) Les événements \(F\) et \(S\) sont-ils indépendants ? Justifie par un calcul.
Voir le corrigé
1) Le choix est fait au hasard parmi 200 élèves : il y a équiprobabilité. \(P(F)=\dfrac{120}{200}=0{,}6\). Il y a \(45+35=80\) inscrits au club, donc \(P(S)=\dfrac{80}{200}=0{,}4\). Les filles inscrites au club sont 45, donc \(P(F\cap S)=\dfrac{45}{200}=0{,}225\).
2) \(P_F(S)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}=\dfrac{0{,}225}{0{,}6}=0{,}375\) : parmi les filles, 37,5 % sont inscrites au club (on retrouve \(\dfrac{45}{120}\)). \(P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}225}{0{,}4}=0{,}5625\) : parmi les inscrits au club, 56,25 % sont des filles (on retrouve \(\dfrac{45}{80}\)).
3) On compare \(P(F\cap S)=0{,}225\) et \(P(F)\times P(S)=0{,}6\times 0{,}4=0{,}24\). Ces deux nombres sont différents, donc \(F\) et \(S\) ne sont pas indépendants. On le voit aussi en comparant \(P_F(S)=0{,}375\) et \(P(S)=0{,}4\) : être une fille modifie légèrement la probabilité d'être inscrit au club.
Réponse : \(P(F)=0{,}6\), \(P(S)=0{,}4\), \(P(F\cap S)=0{,}225\) ; \(P_F(S)=0{,}375\) et \(P_S(F)=0{,}5625\) ; \(F\) et \(S\) ne sont pas indépendants car \(0{,}225\ne 0{,}24\).
Pluie et retard du bus
Pendant la saison des pluies, il pleut un matin sur quatre dans une ville. Les matins de pluie, le bus scolaire arrive en retard avec une probabilité de 0,6 ; les matins sans pluie, il arrive en retard avec une probabilité de 0,2. On choisit un matin au hasard. On note \(R\) l'événement « il pleut » et \(T\) l'événement « le bus est en retard ».
1) Traduis les données de l'énoncé à l'aide de \(R\) et \(T\), puis décris l'arbre pondéré de la situation.
2) Calcule la probabilité qu'il pleuve et que le bus soit en retard.
3) Démontre que \(P(T)=0{,}3\).
4) Le bus est en retard. Quelle est la probabilité qu'il pleuve ?
5) Les événements \(R\) et \(T\) sont-ils indépendants ? Interprète.
Un dé, deux urnes, deux parties
L'urne \(U_1\) contient 3 boules rouges et 2 boules vertes ; l'urne \(U_2\) contient 1 boule rouge et 4 boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule ainsi : on lance un dé équilibré à six faces ; si le dé donne 1 ou 2, on tire une boule dans \(U_1\), sinon on tire une boule dans \(U_2\). On note \(A\) l'événement « le tirage se fait dans \(U_1\) » et \(E\) l'événement « la boule tirée est rouge ».
1) Donne \(P(A)\), \(P_A(E)\) et \(P_{\overline{A}}(E)\), puis démontre que \(P(E)=\dfrac{1}{3}\).
2) La boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne \(U_1\) ?
3) Les événements \(A\) et \(E\) sont-ils indépendants ? Justifie.
4) On joue deux parties de suite, indépendantes l'une de l'autre. Calcule la probabilité d'obtenir deux boules rouges, puis exactement une boule rouge, puis au moins une boule rouge.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.