Nombres complexes

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Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base

On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.

2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.

3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.

Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie

On donne $z = 3 - 4i$.

1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.

2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.

3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.

4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.

Exercice 1 — Forme exponentielle

Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :

1. $z_1=1+i$  2. $z_2=-\sqrt{3}+i$  3. $z_3=-2i$

Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$

Exercice 2 — De Moivre

$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$

1. $(1+i)^8$  2. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)^{12}$  3. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ : exprimer $\cos3\theta$, $\sin3\theta$.

Exercice 3 — Division de nombres complexes

On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.

On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.

1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.

2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.

3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.

4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.

Exercice 4 — Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

1. $z^2 + 4 = 0$

2. $z^2 - 2z + 5 = 0$

3. $2z^2 + z + 1 = 0$

Pour chacune, calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -|\Delta|$ et utiliser $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.

Exercice 3 — Trigonométrie via De Moivre

1. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ : $\cos4\theta$ et $\sin4\theta$.

2. Exprimer $\cos4\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.

3. Montrer $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$.

4. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$.

Exercice 4 — Racines $n$-ièmes de l'unité

Les $n$ racines de $z^n=1$ sont $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k=0,\ldots,n-1$.

1. 4 racines de $z^4=1$  2. Racines cubiques — somme nulle  3. Géométrie  4. $z^6=-64$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac

On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.

1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.

3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.

5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.

Exercice 6 — Équations et lieu géométrique — niveau Bac

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe ($x, y \in \mathbb{R}$).

Partie A — Équation dans $\mathbb{C}$

1. Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$. (Poser $z = a+ib$ et identifier les parties réelle et imaginaire.)

2. En déduire les solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$ dans $\mathbb{C}$, où $Z \in \mathbb{C}$.

Partie B — Lieu géométrique

3. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.

4. Quelle est la nature de cet ensemble ? Le tracer dans le plan.

5. Déterminer l'ensemble des points tels que $|z - 2| \leq 3$. Nature géométrique ?

Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$

$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.