Fonctions logarithmes

1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$ : $$A = \ln(6 \times 5) - \ln 30 = \ln 30 - \ln 30 = \boxed{0}$$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\frac{1}{2}$ : $$B = \ln 8 - \ln 4 + \ln 2^{-1} = \ln\frac{8}{4} - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = \boxed{0}$$
3. $C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$ : $$C = 3\ln e + (-1)\ln e = 3 - 1 = \boxed{2}$$

1. $\ln(2x-1) = \ln 5$ : $\ln$ est injective → $2x-1=5$ → $\boxed{x=3}$. Vérif : $2(3)-1=5>0$ ✓
2. $e^{3x-1} = e^5$ : $\exp$ est injective → $3x-1=5$ → $\boxed{x=2}$
3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x-4)$ : C.E. : $x > \dfrac{4}{3}$. $\ln$ croissante → $x+2 \geq 3x-4$ → $x \leq 3$. Solution : $\boxed{\dfrac{4}{3} < x \leq 3}$

1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ : $\boxed{3\ln x + C}$   (sur $]0\,;+\infty[$)
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx$ : Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+5$, $u'=2x$ → $\boxed{\ln(x^2+5)+C}$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ : Poser $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$ → $\displaystyle\int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$

1. Primitive de $4x^3 - 2x + 5$ : On intègre terme à terme en utilisant $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $$\boxed{F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C}$$
2. Primitive de $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ : $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = \boxed{-\frac{1}{x} + C}$$
3. Primitive de $\cos x + 2\sin x$ : $$\boxed{F(x) = \sin x - 2\cos x + C}$$

1. Reconnaître la forme $u^n$
   $f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$.
2. Formule de dérivation composée
   $$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$
3. Résultat
   $f'(x) = 10(2x+1)^4$.

1. Dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
2. Tableau de variations :
   Sur $]0\,;\,2[$ : $f'<0$ → décroissante  ·  Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'>0$ → croissante
   Minimum en $x=2$.
3. Minimum : $f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$
   Donc $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x=2$.

1. $e^{2x}-3e^x+2=0$ : $X=e^x$ → $X^2-3X+2=0$ → $(X-1)(X-2)=0$
   $e^x=1→x=0$  ·  $e^x=2→x=\ln 2$   $\boxed{S=\{0\,;\,\ln 2\}}$
2. $\ln(x^2-3)=\ln(2x-3)$ : C.E. : $x > \sqrt{3}$. $x^2-3=2x-3$ → $x(x-2)=0$ → $x=2$ ✓   $\boxed{S=\{2\}}$
3. $e^x > 2x+1$ : $f(x)=e^x-2x-1 \geq 0$ avec égalité en $x=0$ uniquement → $\boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}}$
4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$ : $\ln\frac{x^2}{x+6} \leq \ln 3$ → $x^2 \leq 3x+18$ → $(x-6)(x+3)\leq 0$ → $\boxed{0 < x \leq 6}$

1. Limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$ (admis). On prolonge $f$ par $f(0)=0$.
2. Dérivée : $u=x^2$, $v=\ln x$ → $u'=2x$, $v'=\frac{1}{x}$ $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x+1)$$
3. Variations : $f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
   Minimum : $f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}$
4. Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x^2$ → $v=\frac{x^3}{3}$ $$\int_1^e x^2\ln x\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e x^2\,dx = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3-1}{9} = \boxed{\frac{2e^3+1}{9}}$$

1. 1) On écrit chaque nombre comme une puissance de la base. \(64=2^6\), donc \(\log_2 64=6\). \(\dfrac{1}{27}=3^{-3}\), donc \(\log_3\dfrac{1}{27}=-3\). Pour \(\log_9 27\), on revient à la définition : \(\dfrac{\ln 27}{\ln 9}=\dfrac{3\ln 3}{2\ln 3}=\dfrac32\). Pour la base \(\dfrac13\) : \(9=\left(\dfrac13\right)^{-2}\), donc \(\log_{\frac13}9=-2\). Enfin \(\sqrt7=7^{\frac12}\), donc \(\log_7\sqrt7=\dfrac12\).

2. 2) Une différence de logarithmes de même base est le logarithme du quotient : \(\log_2 12-\log_2 3=\log_2\dfrac{12}{3}=\log_2 4=2\). Une somme est le logarithme du produit : \(\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2\), car \(36=6^2\).

3. 3) Comme \(\ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2\), on a \(\log_4 x=\dfrac{\ln x}{2\ln 2}=\dfrac12\times\dfrac{\ln x}{\ln 2}=\dfrac12\log_2 x\). De même \(\ln 8=3\ln 2\) et \(\ln 32=5\ln 2\), donc \(\log_8 32=\dfrac{5\ln 2}{3\ln 2}=\dfrac53\). Contrôle : \(8^{\frac53}=\left(2^3\right)^{\frac53}=2^5=32\).

Réponse : 1) \(6\) ; \(-3\) ; \(\dfrac32\) ; \(-2\) ; \(\dfrac12\). 2) Les deux expressions valent 2. 3) \(\log_4 x=\dfrac12\log_2 x\) et \(\log_8 32=\dfrac53\).