Terminale D · Leçon 6
Fonction exponentielle
Exercices corrigés
Dérivées de fonctions exponentielles composées
Exercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées
En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :
1. $f(x) = e^{3x+2}$
2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$
3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$
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- $f(x) = e^{3x+2}$ : $u'=3$ → $\boxed{f'(x) = 3e^{3x+2}}$
- $g(x) = e^{x^2-1}$ : $u'=2x$ → $\boxed{g'(x) = 2x\,e^{x^2-1}}$
- $h(x) = e^{-x/2}+2x$ : $u'=-\frac{1}{2}$ → $\boxed{h'(x) = -\tfrac{1}{2}e^{-x/2}+2}$
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
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- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Inéquation, optimisation et interprétation — niveau Bac
Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac
Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).
On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).
1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.
5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?
Croissance exponentielle — modélisation — type Bac
Exercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle
La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.
1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)
2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.
3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?
4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.
5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.
Décroissance radioactive et demi-vie — niveau Bac
Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie
$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.
1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.
2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.
3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.
4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?
5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.