Exemples d’étude de fonctions

Exercice 2 — Équations et inéquations

1. $\ln(2x - 1) = \ln 5$

2. $e^{3x-1} = e^5$

3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x - 4)$

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 3 — Dérivée et variations

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.

Exercice 8 — Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$

1. $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$  (Poser $X = e^x$)

2. $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x - 3)$

3. $e^x > 2x + 1$

4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$

Exercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)

2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.

3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.

4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.

Exercice 3 — Étude complète

Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).

Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac

Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).

On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.

2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.

3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.

4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.

5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?

Exercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.

3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.

4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. L'encadrer.

5. Dresser le tableau de signes de $f$.

Exercice 9 — Étude paramétrique et inégalités

Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.

2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.

3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.

4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.

Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie

$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.

1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.

2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.

3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.

4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?

5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4

Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).