Terminale D · Leçon 9
Équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du 2ème ordre à coefficients constants
Exercices corrigés
Équation $y'=ay$ — famille de solutions
Exercice 1 — $y'=2y$
1. Vérifier $y=Ce^{2x}$ est solution. 2. Solution avec $y(0)=3$. 3. Toutes les solutions de $y'=-y$.
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- $y'=2Ce^{2x}=2y$ ✓ — Solutions de $y'=2y$ : $\{Ce^{2x},\;C\in\mathbb{R}\}$
- $y(0)=C=3$ → $\boxed{y=3e^{2x}}$
- $\boxed{y=Ce^{-x}}$, $C\in\mathbb{R}$ — toutes convergent vers 0.
Équation $y'+ay=b$ — solution générale et particulière
Exercice 2 — $y'+2y=6$
1. Équation homogène $(H)$ 2. Solution particulière constante 3. Solution générale 4. Solution avec $y(0)=1$, limite en $+\infty$
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- $y_H=Ce^{-2x}$
- $2y_p=6$ → $\boxed{y_p=3}$
- $\boxed{y=Ce^{-2x}+3}$
- $C=-2$ → $y=-2e^{-2x}+3$ · $\lim_{+\infty}y=3$
Second ordre, $\Delta>0$
Exercice 2 — Second ordre, $\Delta>0$
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$.
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- Équation caractéristique
$r^2-5r+6=0$, $\Delta=25-24=1$. - Racines
$r = \dfrac{5\pm1}{2}$, soit $r=3$ ou $r=2$. - Résultat
$y = Ae^{3x}+Be^{2x}$, $A,B\in\mathbb{R}$.
Variables séparables — refroidissement de Newton
Exercice 3 — Variables séparables
A. Résoudre $y'=xy$, $y(0)=2$.
B. Refroidissement de Newton : $T'=-0{,}1(T-20)$, $T(0)=80$°C. Trouver $T(t)$ et $T(10)$.
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- $\frac{dy}{y}=x\,dx$ → $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+K$ → $\boxed{y=2e^{x^2/2}}$
- $u=T-20$, $u'=-0{,}1u$ → $C=60$ → $\boxed{T(t)=20+60e^{-0{,}1t}}$ · $T(10)\approx\boxed{42{,}1°\text{C}}$
ED du 2ⁿᵈ ordre $y''+py'+qy=0$ — équation caractéristique
Exercice 4 — Équation caractéristique
1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$) 2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$) 3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)
ED 2ⁿᵈ ordre avec second membre — niveau Bac
Exercice 5 — $y''-3y'+2y=4e^{3x}$
1. Résoudre $(H)$ 2. $y_p=Ae^{3x}$ 3. Solution générale 4. $y(0)=0$, $y'(0)=1$
Racine double, second ordre
Exercice 5 — Racine double
Résoudre $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$.