Terminale D · Leçon 8
Calcul intégral
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Calcul intégral
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Primitives usuelles — tableau de référence
Exercice 1 — Primitives usuelles
Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$
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- Primitive de $4x^3 - 2x + 5$ : On intègre terme à terme en utilisant $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $$\boxed{F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C}$$
- Primitive de $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ : $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = \boxed{-\frac{1}{x} + C}$$
- Primitive de $\cos x + 2\sin x$ : $$\boxed{F(x) = \sin x - 2\cos x + C}$$
Intégrales définies et interprétation géométrique
Exercice 2 — Intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx$
3. Interpréter géométriquement $I$ : quelle aire représente-t-il ?
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- Calcul de $I$ : $$I = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = \boxed{6}$$
- Calcul de $J$ : $$J = \left[2\ln x\right]_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 \times 1 - 0 = \boxed{2}$$
- Interprétation géométrique : Comme $f(x) = 3x^2 - 2x + 1 > 0$ sur $[0\,;\,2]$, $I = 6$ représente l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.
Intégrale d'un polynôme
Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$. - Évaluation
$$\big[x^3-x^2+x\big]_0^2 = (8-4+2)-0 = 6.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = 6$.
Intégrale de $1/x$
Exercice 2 — Intégrale de $1/x$
Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $1/x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$. - Évaluation
$$\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1$.
Intégration par parties
Exercice 3 — Intégration par parties
On rappelle la formule : $\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^1 xe^x\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e x\ln x\,dx$
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- Calcul de $I = \displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ :
On pose $u = x$ et $v' = e^x$, donc $u' = 1$ et $v = e^x$. $$I = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e-1) = \boxed{1}$$ - Calcul de $J = \displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx$ :
On pose $u = \ln x$ et $v' = x$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$ et $v = \dfrac{x^2}{2}$. $$J = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx$$ $$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \boxed{\frac{e^2+1}{4}}$$
Aire entre deux courbes — intersection et calcul
Exercice 4 — Aire entre deux courbes
Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
1. Déterminer les points d'intersection de leurs courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points.
3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre les deux courbes.
4. Représenter graphiquement les deux courbes et identifier la surface calculée.
Situation d'intégration — Chauffeur de taxi-brousse
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un chauffeur de taxi-brousse sait que la consommation de son véhicule est comprise entre $7{,}5$ et $8{,}2$ litres aux $100$ km selon l'état de la route, et que le prix du litre d'essence varie entre $750$ et $780$ F selon la station-service.
Consigne : En utilisant les propriétés des encadrements de réels strictement positifs, encadrer le coût en carburant pour un trajet de $100$ km, puis en déduire un encadrement du coût pour un trajet de $250$ km.
Valeur moyenne et application à la physique — type Bac
Exercice 5 — Valeur moyenne et application physique
La température $T(t)$ (en °C) un jour de saison sèche est modélisée par :
$$T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 18 \quad \text{pour } t \in [0\,;\,12]$$où $t$ est le nombre d'heures après 6h du matin ($t=0$ correspond à 6h, $t=12$ à 18h).
1. Calculer $T(0)$, $T(6)$ et $T(12)$. À quelle heure fait-il le plus chaud ?
2. Calculer $T'(t)$. Vérifier que le maximum est bien atteint en $t = 6$.
3. Calculer la température moyenne $\bar{T}$ sur la période $[0\,;\,12]$ en utilisant :
$$\bar{T} = \frac{1}{12-0}\int_0^{12} T(t)\,dt$$4. La valeur moyenne $\bar{T}$ est-elle atteinte avant ou après le pic de chaleur ?
5. Calculer l'aire sous la courbe de $T$ sur $[0\,;\,12]$ et interpréter physiquement.
Intégrale, changement de variable et aire — niveau Bac
Exercice 6 — Changement de variable et aire — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
1. Montrer que $f(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$.
2. Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
3. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ en posant le changement de variable $u = 1 - x^2$.
4. Interpréter géométriquement : l'aire calculée correspond-elle à un quart de disque ? Comparer avec $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.
5. En déduire une encadrement de $I$ et vérifier votre calcul.
Primitive d'une forme $u'e^u$
Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.
Volume d'un solide de révolution
Exercice 6 — Volume de révolution
Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la courbe $y=e^{-x}$ sur $[0\,;1]$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.