Suites numériques

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Exercice 1 — Nature d'une suite

Déterminer la nature, la raison et le terme général.

1. $(u_n)$ : $u_0=5$, $u_{n+1}=u_n+4$

2. $(v_n)$ : $v_0=3$, $v_{n+1}=2v_n$

Exercice 2 — Terme général et somme

$(u_n)$ arithmétique : $u_1=7$, raison $r=3$.

1. $u_n$  2. $u_{20}$  3. $S=u_1+\cdots+u_{20}$

Exercice 1 — Démonstration par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.

Exercice 2 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Exercice 2 — Suite géométrique

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.

Exercice 4 — Convergence

$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.

Exercice 3 — Monotonie et limite

Étudier la monotonie de $u_n = \dfrac{n+3}{n+1}$ pour $n\ge0$, puis déterminer sa limite.

Exercice 6 — Application financière

50 000 FCFA à 5%/an, retrait 3 000 FCFA/an. $C_n$ capital après $n$ ans.
Récurrence, forme explicite, $C_5$, $C_{10}$, quand $C_n>100000$ ?

Exercice 4 — Point fixe

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.

Exercice 5 — Divergence de la série harmonique

Soit $u_n = 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n$ pour $n\ge1$. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante et que $u_{2n}-u_n \ge \dfrac12$ pour tout $n\ge1$. En déduire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 4 — Somme géométrique et limite

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 5 — Intérêts composés

On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([1;+\infty[\) par \(f(x)=x-\ln x\). On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\), c'est-à-dire \(u_{n+1}=u_n-\ln(u_n)\).

1) Étudie le sens de variation de \(f\) sur \([1;+\infty[\), puis résous dans cet intervalle l'équation \(f(x)=x\).

2) Calcule \(u_1\) (valeur exacte, puis valeur arrondie au millième). Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 2\).

3) Justifie que la suite \((u_n)\) converge, puis détermine sa limite.

4) En étudiant la fonction \(k\) définie sur \([1;2]\) par \(k(x)=\ln x-\dfrac{x-1}{2}\), démontre que \(\ln x\geq\dfrac{x-1}{2}\) pour tout \(x\) de \([1;2]\). Déduis-en que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq u_{n+1}-1\leq\dfrac{1}{2}(u_n-1)\), puis démontre par récurrence que \(0\leq u_n-1\leq(\dfrac{1}{2})^{n}\).

5) Détermine le plus petit entier naturel \(n\) tel que \((\dfrac{1}{2})^{n}\leq 10^{-3}\). À la calculatrice, donne ensuite \(u_2\) et \(u_3\) arrondis à \(10^{-5}\), puis le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n-1\leq 10^{-3}\). Compare les deux rangs obtenus et interprète.

Un groupement villageois veut faire creuser un forage. Deux entreprises proposent un tarif, en francs, qui dépend du rang du mètre foré. Entreprise A : le premier mètre coûte 2000 francs et chaque mètre suivant coûte 50 francs de plus que le précédent. Entreprise B : le premier mètre coûte 1500 francs et chaque mètre suivant coûte 3 % de plus que le précédent.

Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(a_n\) et \(b_n\) le coût du \(n\)-ième mètre chez A et chez B, puis \(A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\) et \(B_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\) le coût total d'un forage de \(n\) mètres chez A et chez B.

1) Calcule \(a_2\), \(a_3\), \(b_2\) et \(b_3\). Précise la nature des suites \((a_n)\) et \((b_n)\), puis exprime \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).

2) À partir de quel mètre le coût du mètre chez B atteint-il au moins 3000 francs, le double du coût du premier mètre ? Tu résoudras une inéquation à l'aide du logarithme népérien.

3) Démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(A_n=25n^{2}+1975n\) et \(B_n=50000(1{,}03^{n}-1)\).

4) Calcule le coût total d'un forage de 40 mètres, puis de 60 mètres, chez chaque entreprise (résultats arrondis au franc) : laquelle est la moins chère dans chaque cas ? On admet que, dès que \(B_n\) dépasse \(A_n\), il le dépasse pour toutes les profondeurs suivantes. À l'aide de la calculatrice, détermine la plus petite profondeur \(n\) telle que \(B_n\gt A_n\) et conclus pour le groupement.

5) Détermine la limite de la suite de terme général \(\dfrac{A_n}{B_n}\) et interprète ce résultat.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\ln(1+x)\,dx\), avec la convention \(x^{0}=1\). Ainsi \(I_0=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx\).

1) À l'aide d'une intégration par parties, calcule \(I_0\). Tu pourras choisir \(x\mapsto x+1\) comme primitive de la fonction constante \(x\mapsto 1\).

2) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_n\geq 0\), puis que la suite \((I_n)\) est décroissante. Que peux-tu en déduire ?

3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq I_n\leq\dfrac{\ln 2}{n+1}\). Déduis-en la limite de la suite \((I_n)\).

4) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \((n+1)I_n=\ln 2-J_n\), où \(J_n=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\,dx\).

5) Vérifie que, pour tout \(x\) de \([0;1]\), \(\dfrac{x^{2}}{1+x}=x-1+\dfrac{1}{1+x}\). Calcule alors \(J_1\), puis déduis-en la valeur exacte de \(I_1\).

6) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq J_n\leq\dfrac{1}{n+2}\). Déduis-en la limite de la suite de terme général \((n+1)I_n\), puis celle de la suite de terme général \(nI_n\), et interprète ce résultat.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\). On pose \(a=\dfrac{1+i}{2}\) et on définit la suite de nombres complexes \((z_n)\) par \(z_0=4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(z_{n+1}=a\,z_n\). On note \(M_n\) le point d'affixe \(z_n\) et \(r_n=|z_n|\).

1) Calcule \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique, puis détermine le module et un argument de \(a\).

2) Démontre que la suite \((r_n)\) est géométrique, exprime \(r_n\) en fonction de \(n\), puis détermine sa limite. Interprète ce résultat pour les points \(M_n\).

3) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(z_n=r_n(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4})\). Déduis-en les entiers \(n\) pour lesquels \(M_n\) appartient à l'axe des réels, et calcule \(z_4\).

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(M_nM_{n+1}=r_{n+1}\). Déduis-en la nature du triangle \(OM_nM_{n+1}\).

5) Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(L_n=M_0M_1+M_1M_2+\cdots+M_{n-1}M_n\) la longueur de la ligne brisée qui joint \(M_0\) à \(M_n\). Démontre que \(L_n=4(\sqrt{2}+1)(1-(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{n})\), détermine la limite de la suite \((L_n)\) et interprète.

6) Détermine le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(OM_n\leq 10^{-2}\).