Terminale C · Leçon 4
Primitives
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Définition d’une primitive d’une fonction continue
- Ensemble des primitives d’une fonction continue
- Unicité de la primitive d’une fonction prenant une valeur donnée en un point donné
- Primitives des fonctions de référence
- Primitive de 𝑢′ + 𝑣′ ; 𝜆𝑢′ (𝜆 ∈ ℝ)
- 𝑣′ × 𝑢′𝑜𝑣 ; 𝑢′/√𝑢 ; 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢 ; 𝑢′𝑠𝑖𝑛𝑢 ; 𝑢′/𝑢𝑟, 𝑟 ∈ ℚ\{1} ; 𝑢′ × 𝑢𝑚 ,𝑚 ∈ ℚ\{−1} où 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Primitives : définition, primitives usuelles
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). Primitiver \(f\), c'est « remonter » d'une dérivée vers la fonction d'origine.
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(x_0 \in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(F\) vérifiant \(F(x_0) = y_0\). La condition initiale détermine entièrement \(C\).
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Validité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z},\; n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou sans 0 |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | Intervalles \(\big]{-\frac{\pi}{2}+k\pi}\,;\frac{\pi}{2}+k\pi\big[\) |
Primitives de fonctions composées (forme u′·g(u))
| Forme de \(f\) | Primitive |
|---|---|
| \(u'\,u^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'\,e^u\) | \(e^u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
\(f(x) = 2x\,e^{x^2}\). Poser \(u = x^2\), \(u' = 2x\) — c'est exactement \(u'e^u\) :
\[F(x) = e^{x^2} + C.\]Vérification : \(F'(x) = 2x\,e^{x^2} = f(x)\).
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\). Poser \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\) :
\[G(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C.\]Primitive vérifiant \(G(0) = 1\) : \(G(0) = 0 + C = 1\), donc \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + 1\).
\(h(x) = x(x^2+3)^4\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\), donc \(x = \dfrac{u'}{2}\) :
\[H(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+3)^5}{5} + C = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C.\]\(k(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\) sur un intervalle où \(\sin x > 0\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[K(x) = 2\sqrt{\sin x} + C.\]La primitive trouvée par reconnaissance de forme doit toujours être vérifiée en dérivant. Une erreur sur la constante multiplicative passe inaperçue à la lecture, mais trahit immédiatement à la dérivation.
Des intégrales comme \(\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx\) ou \(\displaystyle\int e^x \cos x\,dx\) nécessitent substitution trigonométrique ou intégration par parties — vues dans le chapitre suivant. Pour le Bac série C, les exercices restent dans le cadre de la reconnaissance de formes.