Terminale C · Leçon 5
Fonctions logarithmes
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- la définition de la fonction logarithme népérien
- la définition de la fonction logarithme décimal
- la définition de la fonction logarithme de base 𝑎 ; 𝑎 ∈ ]0; 1[ ∪ ]1; +∞[
- les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
- la dérivée de la fonction logarithme népérien
- le sens de variation de la fonction logarithme népérien
- la représentation graphique de la fonction logarithme népérien
- les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal
- les limites de référence de la fonction logarithme népérien
- les fonctions dérivées des fonctions du type : ln∘ 𝑢 et ln∘ |𝑢|
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
La fonction \(\ln\) naît d'un besoin précis : trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (chapitre II) ; on choisit celle qui s'annule en 1 — ce choix de normalisation est la définition.
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(\ln 1 = 0\).
Par construction : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b.\]Idée : les deux membres ont la même dérivée en \(b\) (en fixant \(a\)) et la même valeur en \(b = 1\). Par unicité de la primitive avec condition initiale, ils sont égaux.
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[\ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2\).
- \(\ln\dfrac{e^2}{3} = \ln(e^2) - \ln 3 = 2 - \ln 3\).
- \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}\).
- \(\ln\dfrac{1}{x^3} = -3\ln x\) pour \(x > 0\).
Comme \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle prend toutes les valeurs réelles. Il existe donc un unique réel strictement positif dont le logarithme vaut 1 :
\[\ln e = 1, \qquad e \approx 2{,}718\,28\ldots\]Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
- Déterminer l'ensemble de validité : arguments de \(\ln\) strictement positifs.
- Utiliser la stricte croissance : \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a \le \ln b \Leftrightarrow a \le b\).
- Conclure en précisant l'ensemble de définition.
Résoudre \(\ln(2x-1) = \ln(x+3)\).
Validité : \(2x-1 > 0\) et \(x+3 > 0\), donc \(x > \dfrac{1}{2}\).
Par stricte croissance : \(2x-1 = x+3\), soit \(x = 4\). On vérifie \(4 > \dfrac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 4}\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) \ge \ln(2x)\).
Validité : \(x^2-3 > 0\) et \(2x > 0\), donc \(x > \sqrt{3}\).
Par stricte croissance : \(x^2-3 \ge 2x\), soit \((x-3)(x+1) \ge 0\). Sur \(]\sqrt{3}\,;+\infty[\), cela donne \(x \ge 3\). Solution : \(\boxed{x \ge 3}\).
L'égalité \(\ln(x^2) = 2\ln x\) n'est valable que pour \(x > 0\). Pour \(x < 0\), \(\ln(x^2) = 2\ln(-x) \neq 2\ln x\). L'ensemble de validité s'impose avant toute manipulation algébrique.
Figure interactive — La fonction logarithme népérien
tangente en \(x = a\)
propriétés algébriques
Déplacer le curseur pour faire varier le point \(a\)
La pente de la tangente en \(x=a\) vaut \(f'(a) = 1/a\) : grande pour \(a\) proche de 0, elle tend vers 0 quand \(a\) grandit. Le point \((e\,;\,1)\) et le point \((1\,;\,0)\) sont les deux repères fondamentaux de la courbe.
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.