Terminale C · Leçon 14
Géométrie analytique dans l’espace
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- la définition d’un vecteur normal à un plan de l’espace
- la définition de la distance d’un point à un plan de l’espace
- la caractérisation d’un plan de l’espace par un point et un vecteur normal
- une équation cartésienne d’un plan de l’espace
- une représentation paramétrique d’une droite de l’espace
- d’une droite et d’un plan de l’espace
- de deux droites de l’espace
- de deux plans de l’espace
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal
Le produit scalaire de \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\) est :
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\]
- Commutativité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)
- Distributivité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
- Homogénéité : \((k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- Carré : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\)
\[\vec{u}\perp\vec{v}\;\Longleftrightarrow\;\vec{u}\cdot\vec{v}=0\]
\[\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|}\right) \quad \theta\in[0;\pi]\]
\(\vec{u}(2;3;1)\) et \(\vec{v}(1;-2;4)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-6+4=0\) → orthogonaux.
\(\vec{u}(1;2;2)\) et \(\vec{v}(2;1;2)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2+2+4=8\), \(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=3\)
\[\cos\theta=\frac{8}{9} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx 27{,}3°\]
Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) orthogonal à \(\vec{u}(1;2;-1)\) et \(\vec{v}(3;0;2)\) :
\[\begin{cases}a+2b-c=0\\3a+2c=0\end{cases}\]
On prend \(a=2\) → \(c=-3\) → \(b=-\frac{5}{2}\). Solution entière : \(\vec{n}(4;-5;-6)\).
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
Distance du point \(M(x_M;y_M;z_M)\) au plan \(\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0\) :
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
- Mettre le plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) (tout à gauche).
- Numérateur : substituer \(x_M,y_M,z_M\) et prendre la valeur absolue.
- Dénominateur : \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) — norme du vecteur normal.
- Diviser.
Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur — ce sont les deux erreurs les plus fréquentes sur ce type de question.
Num. : \(|2-2+6-5|=1\) · Dén. : \(\sqrt{4+1+4}=3\)
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{1}{3}\]
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point \(H\in\mathcal{P}\) tel que \((MH)\perp\mathcal{P}\).
- Le vecteur directeur de \((MH)\) est le vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.
- Écrire la droite passant par \(M\) de direction \(\vec{n}\).
- Calculer l'intersection de cette droite avec \(\mathcal{P}\) → c'est \(H\).
Droite \((MH)\) : direction \(\vec{n}(1;1;1)\) → \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\)
Intersection : \((1+t)+(2+t)+(3+t)-1=0\) → \(t=-5/3\)
\[H\!\left(-\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{4}{3}\right)\]
- Paramétrer la droite : point générique \(P(t)\).
- Écrire \(\overrightarrow{MP}(t)\) et résoudre \(\overrightarrow{MP}\cdot\vec{u}=0\) → trouver \(t_0\).
- \(H=P(t_0)\) est le projeté de \(M\) sur la droite.
- \(d(M,(d))=MH\).
\(\overrightarrow{MP}=(2t-1\,;\,t\,;\,2t-2)\), \(\vec{u}(2;1;2)\).
\(2(2t-1)+t+2(2t-2)=0\;\Rightarrow\;9t=6\;\Rightarrow\;t=2/3\)
\(H(4/3\,;\,2/3\,;\,4/3)\), \(MH=\|(1/3\,;\,2/3\,;\,-2/3)\|=\sqrt{1/9+4/9+4/9}=1\)
Figure 2 — Distance point-plan et projeté orthogonal \(H\)
Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) en bleu. Point \(M\) (or) déplacé par les curseurs. Projeté orthogonal \(H\) (vert) = pied de la perpendiculaire de \(M\) sur le plan. Segment \(MH\) (rouge) est perpendiculaire au plan. La distance \(d(M,\mathcal{P})=\frac{|2x_M-y_M+z_M-4|}{\sqrt{6}}\) est calculée en temps réel.
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) :
\[\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\]
\(t=0\) → point \(A\) · \(t=1\) → point \(A+\vec{u}\) · \(t\in\mathbb{R}\) → toute la droite.
- Substituer les coordonnées de \(M\) dans les 3 équations.
- Chercher une valeur de \(t\) vérifiant les 3 équations simultanément.
- Si une telle valeur existe : \(M\in(d)\). Sinon : non.
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
- Utiliser \(A\) comme point de référence.
- Écrire les équations paramétriques avec \(\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}=(2;-1;4)\). Représentation : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\(M(5;0;11)\) : \(t=2\) vérifie les 3 équations → \(M\in(AB)\).
Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Tout plan admet une équation : \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a;b;c)\) est le vecteur normal.
- L'équation est \(ax+by+cz+d=0\) — les coefficients sont ceux de \(\vec{n}\).
- Substituer les coordonnées du point connu pour trouver \(d\).
\(2x-y+4z+d=0\). Point \(A\) : \(2-2+12+d=0\) → \(d=-12\).
\[\boxed{2x-y+4z-12=0}\]
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).
- Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
- Fixer une coordonnée (ex. \(a=1\)) et résoudre le système.
- Appliquer la méthode A pour trouver \(d\).
\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;1)\). Système : \(-a+b=0\) et \(-a+c=0\) → \(a=b=c=1\).
Point \(A\) : \(1+d=0\) → \(d=-1\).
\[\boxed{x+y+z-1=0}\]
Figure 1 — Repère 3D, droite paramétrique et plan \((ABC)\)
Repère orthonormé 3D. Points A(2;1;3), B(4;2;1), C(1;−1;2). Droite paramétrique \((AB)\) en or — le curseur \(t\) déplace \(P(t)\) le long de la droite. Plan \((ABC)\) avec son vecteur normal \(\vec{n}(5;-4;3)\) en rouge. La construction illustre : \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)\), équation du plan \(5x-4y+3z-15=0\).
| Relation | Condition vectorielle |
|---|---|
| Droites \((d_1)\parallel(d_2)\) | Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires |
| Droites \((d_1)\perp(d_2)\) | \(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\) |
| Droite \((d)\parallel\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) |
| Droite \((d)\perp\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\perp\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\) |
Règle d'or : Parallélisme → vecteurs colinéaires · Orthogonalité → produit scalaire nul.
La droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;4)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}: 2x-y+4z=5\) ?
Vecteur normal : \(\vec{n}(2;-1;4)=\vec{u}\) → colinéaires → oui, perpendiculaire.
Pour droite parallèle au plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) — la droite est "dans" la direction du plan, donc orthogonale au normal.
Pour droite perpendiculaire au plan : \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\) — la droite a la même direction que le vecteur normal.
- Écrire les équations paramétriques de la droite.
- Substituer dans l'équation cartésienne du plan.
- Résoudre en \(t\).
| Résultat en \(t\) | Interprétation |
|---|---|
| Solution unique \(t_0\) | Un point d'intersection — substituer \(t_0\) |
| Équation toujours vraie | Droite incluse dans le plan |
| Équation impossible | Droite parallèle au plan (sans intersection) |
Droite : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\[(1+2t)+(2-t)+(3+4t)-1=0\;\Rightarrow\;5+5t=0\;\Rightarrow\;t=-1\]
Point : \((-1\,;\,3\,;\,-1)\)
- Poser \(z=t\) (paramètre libre).
- Résoudre le système de 2 équations en \(x\) et \(y\).
- Exprimer \(x\), \(y\) en fonction de \(t\) → représentation paramétrique de la droite d'intersection.
Posons \(z=t\). Somme : \(2x=1-3t\) → \(x=\frac{1-3t}{2}\). Différence : \(2y=1+t\) → \(y=\frac{1+t}{2}\).
\[\begin{cases}x=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\\[4pt]y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\[4pt]z=t\end{cases}\]
Résumé
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
\(d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\)
\(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)
Orthogonalité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)
Vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\)
\(ax+by+cz+d=0\)
Vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\)
Trouver \(d\) : substituer un point connu.
Parallèle → vecteurs colinéaires
Orthogonal → produit scalaire nul
Droite \(\perp\) plan → \(\vec{u}\parallel\vec{n}\)
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
Sphère \(\cap\) plan : cercle si \(d < R\)
Rayon : \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)
Sujet type Bac
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), soient \(A(2;1;3)\), \(B(4;2;1)\), \(C(1;-1;2)\) et le plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\).
Partie A — Calculs préliminaires
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(AB\).
\[\overrightarrow{AB}=(2;1;-2) \quad;\quad \overrightarrow{AC}=(-1;-2;-1) \quad;\quad AB=\sqrt{4+1+4}=3\]
2. \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
Si colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=k\cdot\overrightarrow{AB}\) → composante \(x\) : \(k=-1/2\), composante \(y\) : \(k=-2\). Contradiction → non alignés.
Partie B — Équation du plan \((ABC)\)
3. Trouver un vecteur normal à \((ABC)\).
Système \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) : \(\begin{cases}2a+b-2c=0\\-a-2b-c=0\end{cases}\) → \(\vec{n}(5;-4;3)\).
Équation : \(5(x-2)-4(y-1)+3(z-3)=0\) → \(\boxed{5x-4y+3z-15=0}\)
Partie C — Position relative
4. La droite \((AB)\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) ?
\(\vec{n_P}(2;-1;1)\). Test : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n_P}=4-1-2=1\neq0\) → non parallèle.
Partie D — Distance et projeté
5. Distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) :
\[d(A,\mathcal{P})=\frac{|2(2)-1(1)+1(3)-4|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{|4-1+3-4|}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]