Terminale C · Leçon 15
Isométries du plan
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Définition d’une isométrie
- Définition d’un déplacement
- Définition d’un antidéplacement
- Définition d’une symétrie glissée
- Propriétés relatives à la conservation : du produit scalaire, du barycentre, du contact, des angles géométriques, de l’orthogonalité, du parallélisme, de l’alignement, des aires
- Propriétés relatives à la composée : de deux isométries planes, d’une rotation et d’une translation, d’une rotation et d’une symétrie orthogonale, d’une translation et d’une symétrie orthogonale
- Propriétés relatives à la décomposition : d’une translation en produit de symétries orthogonales, d’une rotation en produit de symétries orthogonales
- Classification des isométries à l’aide de leurs points invariants
- Détermination d’une isométrie
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Isométries du plan : classification et conservation
Une isométrie du plan est une transformation \(f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\) du plan, \(f(M)f(N) = MN\). Toute isométrie est bijective, conserve l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires, et transforme droites en droites et cercles en cercles de même rayon.
On distingue deux familles selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation du plan. Les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations. Les antidéplacements changent les angles orientés en leurs opposés : ce sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées (réflexion composée d'une translation selon l'axe).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation : le vecteur est perpendiculaire aux axes, de norme égale au double de leur distance. La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle égal au double de l'angle orienté formé par les deux axes (pris dans l'ordre de composition).
Soient \(d_1 : x = 0\) (axe des ordonnées) et \(d_2 : x = 2\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la translation de vecteur \(\vec{u} = (4,\,0)\). En effet les axes sont parallèles, écartés de \(2\), et le vecteur est perpendiculaire d'amplitude \(2 \times 2 = 4\).
Soient \(d_1 : y = 0\) et \(d_2\) l'axe faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec \(d_1\), tous deux passant par \(O\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
L'ordre de composition compte pour les réflexions d'axes sécants : \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation d'angle \(+2\alpha\) où \(\alpha = (d_1, d_2)\), mais \(s_{d_1} \circ s_{d_2}\) donne l'angle \(-2\alpha\). On n'intervertit pas les facteurs sans signe.
Figure interactive — Composition de deux réflexions axiales
axe \(d_2\)
point \(P\) initial
image \(P'\) finale
image intermédiaire \(P_1\)