Terminale C · Leçon 12
Barycentre et lignes de niveaux
Ce que dit le programme officiel (22 points)
- la définition du barycentre de 𝑛 points pondérés
- la définition de l’isobarycentre de 𝑛 points pondérés
- la propriété relative à l’homogénéité du barycentre
- le théorème des barycentres partiels
- la propriété relative aux coordonnées du barycentre
- la propriété relative à l’ensemble des barycentres de trois points non alignés
- la propriété relative à la réduction de : ∑ 𝛼𝑖 𝑀𝐴𝑖²
- la propriété relative à la ligne de niveau de l’application : 𝑀 ⟼ 𝑀𝑒𝑠(𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂; 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
- la propriété relative à la ligne de niveau de l’application : 𝑀 ⟼ 𝑀𝐴/𝑀𝐵
- la propriété relative à la ligne de niveau de l’application : 𝑀 ⟼ ∑ 𝛼𝑖 𝑀𝐴𝑖²
- le barycentre de 𝑛 points pondérés
- un point comme barycentre de 𝑛 points pondérés
- 𝑀 ⟼ ∑ 𝛼𝑖 𝑀𝐴𝑖²
- 𝑀 ⟼ 𝑀𝐴/𝑀𝐵
- 𝑀 ⟼ 𝑀𝑒𝑠(𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂; 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
- des lieux géométriques en utilisant le barycentre
- le barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés
- qu’un point est barycentre de 𝑛 points pondérés
- que des points sont alignés en utilisant le barycentre
- que des droites sont concourantes en utilisant le barycentre.
- une propriété géométrique en utilisant le barycentre
- une situation faisant appel au barycentre
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Barycentre de points pondérés
Soient \(n\) points pondérés \((A_1, a_1), \ldots, (A_n, a_n)\) avec \(a_1 + \cdots + a_n \neq 0\). Le barycentre \(G\) de ce système est l'unique point vérifiant la relation vectorielle :
\[ a_1\,\overrightarrow{GA_1} + a_2\,\overrightarrow{GA_2} + \cdots + a_n\,\overrightarrow{GA_n} = \vec{0}. \]Lorsque tous les coefficients sont égaux (\(a_i = 1\) pour tout \(i\)), \(G\) est l'isobarycentre : c'est le milieu si \(n = 2\), le centre de gravité du triangle si \(n = 3\).
Formule de réduction. Pour tout point \(M\) du plan (ou de l'espace) :
\[ \sum_{i=1}^n a_i\,\overrightarrow{MA_i} \;=\; \Big(\sum_{i=1}^n a_i\Big)\overrightarrow{MG}. \]Coordonnées. Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) :
\[ x_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,x_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}, \qquad y_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,y_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}. \]Homogénéité. Multiplier tous les coefficients par une constante \(k \neq 0\) ne modifie pas la position de \(G\) : seuls les rapports entre les poids comptent.
Associativité. On peut regrouper une partie des points en leur substituant leur propre barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cela permet de calculer \(G\) en deux étapes quand le système est complexe.
Pour deux points \(A\) et \(B\) avec coefficients \(a\) et \(b\) (\(a + b \neq 0\)), on part de la définition \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\) et on exprime tout en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) :
- Écrire \(\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BG}\) (ou simplement utiliser \(\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}\)).
- Exprimer \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) : \(G\) divise \([AB]\) dans le rapport \(b:a\) à partir de \(A\).
- Vérifier le sens : si \(a\) et \(b\) sont de même signe, \(G\) est entre \(A\) et \(B\) ; sinon il est à l'extérieur.
Exemple 1 — Deux points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 2)\) et \((B, 1)\). On a \(2\,\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}\), d'où \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). \(G\) est situé au tiers du segment \([AB]\) à partir de \(A\), à l'intérieur du segment car les deux poids sont positifs.
Exemple 2 — Trois points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 3)\), \((B, -1)\), \((C, 2)\). La somme est \(3 + (-1) + 2 = 4\). En coordonnées, avec \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(1;3)\) :
\[ x_G = \frac{3\times0 + (-1)\times4 + 2\times1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad y_G = \frac{3\times0 + (-1)\times0 + 2\times3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]Exemple 3 — Associativité. Dans un triangle \(ABC\) avec masses \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, 3)\) : on calcule d'abord \(G_{BC}\), barycentre de \((B, 2)\) et \((C, 3)\), qui vérifie \(\overrightarrow{BG_{BC}} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\) ; puis \(G\) est le barycentre de \((A, 1)\) et \((G_{BC}, 5)\), soit \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow{AG_{BC}}\). C'est bien plus rapide que de partir des coordonnées brutes.
Ne pas oublier de vérifier que \(\sum a_i \neq 0\) avant de définir \(G\) : si la somme est nulle, le barycentre n'existe pas (les vecteurs \(a_i\overrightarrow{MA_i}\) se compensent quel que soit \(M\), le système est dit libre). Autre erreur classique : écrire \(x_G = \sum a_i x_{A_i}\) sans diviser par \(\sum a_i\).
Barycentre de \((A, a)\) et \((B, b)\) — déplacer les curseurs
Point \(B\) (poids \(b\))
Barycentre \(G\)
Ensembles de points et lignes de niveau (théorème de la médiane)
Un ensemble de points (ou ligne de niveau) est décrit par une équation du type \(f(M) = k\) où \(f\) est une expression faisant intervenir des distances ou des produits scalaires. L'objectif est toujours d'identifier la nature géométrique de cet ensemble : cercle, droite, point ou ensemble vide.
Soient \(A\) et \(B\) deux points fixes, \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour tout point \(M\) :
\[ MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}. \]Selon la forme de l'équation, on applique l'une des réductions suivantes. Dans tous les cas, on commence par faire apparaître une expression de la forme \(MI^2\) ou \(MG^2\), où \(I\) ou \(G\) est un point fixe.
| Équation | Réduction | Ensemble |
|---|---|---|
| \(MA^2 + MB^2 = k\) | \(MI^2 = \dfrac{k}{2} - \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de centre \(I\) si membre droit \(> 0\) |
| \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) | \(MI^2 = \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de diamètre \([AB]\) |
| \(a\,MA^2 + b\,MB^2 = k\) | Barycentre \(G\) de \((A,a)(B,b)\) : \(MG^2 = \ldots\) | Cercle de centre \(G\) |
| \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \lambda\) | \(MI^2 = \lambda + \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de centre \(I\) si \(\lambda + \dfrac{AB^2}{4} > 0\) |
Cas général \(a\,MA^2 + b\,MB^2 = k\) (\(a + b \neq 0\)). On introduit le barycentre \(G\) de \((A, a)\) et \((B, b)\). La formule de réduction donne :
\[ a\,MA^2 + b\,MB^2 = (a+b)\,MG^2 + \frac{ab}{a+b}\,AB^2. \]L'ensemble est alors un cercle de centre \(G\) si \(\dfrac{k - \tfrac{ab}{a+b}AB^2}{a+b} > 0\), un point si égal à 0, et l'ensemble vide sinon.
Exemple 1 — Cercle de diamètre. Soit \(\mathcal{E} = \{M \mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\}\). \(I\) milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \tfrac{AB^2}{4}\). L'équation devient \(MI^2 = \tfrac{AB^2}{4}\), soit \(MI = \tfrac{AB}{2}\). C'est le cercle de diamètre \([AB]\).
Exemple 2 — Ensemble de type \(MA^2 + MB^2\). Avec \(A(-2;0)\), \(B(2;0)\), chercher \(MA^2 + MB^2 = 20\). On a \(I = (0;0)\), \(AB = 4\). Réduction : \(2\,MI^2 + 8 = 20\), soit \(MI^2 = 6\). L'ensemble est le cercle de centre \(I(0;0)\) et de rayon \(\sqrt{6}\).
Exemple 3 — Cas général. Chercher \(2\,MA^2 + 3\,MB^2 = 30\) avec \(A(0;0)\), \(B(5;0)\). Barycentre \(G\) de \((A,2)\), \((B,3)\) : \(x_G = \tfrac{3\times5}{5} = 3\), \(G = (3;0)\). Réduction : \(5\,MG^2 + \tfrac{6}{5}\times25 = 5\,MG^2 + 30\). L'équation donne \(5\,MG^2 = 0\), donc \(M = G\) : l'ensemble est réduit au point \(G(3;0)\).
Lignes de niveau — choisir le type d'ensemble
Centre \(I\) (milieu)
Lieu de \(M\)