Terminale C · Leçon 16
Similitudes directes du plan
Ce que dit le programme officiel (20 points)
- Définition et composition
- Éléments caractéristiques
- Composée de deux similitudes directes
- Réciproque d’une similitude directe
- Propriétés relatives à la conservation
- du parallélisme
- du barycentre
- du contact
- des angles orientés
- de l’orthogonalité
- de l’alignement
- Propriétés relatives à la multiplication
- des distances
- des aires
- Écriture complexe d’une similitude directe
- Détermination d’une similitude directe
- son centre, son rapport et son angle
- son centre, un point et son image
- son rapport, son angle, un point et son image
- par deux points et leurs images
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
Écriture complexe des transformations du plan
Dans le plan complexe, on note \(M(z)\) le point d'affixe \(z\) et \(M'(z')\) son image. Les transformations fondamentales s'écrivent :
\[\text{Translation de vecteur d'affixe } b : \quad z' = z + b\] \[\text{Rotation de centre } \Omega(\omega), \text{ angle } \theta : \quad z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\] \[\text{Homothétie de centre } \Omega(\omega), \text{ rapport } k \in \mathbb{R}^* : \quad z' - \omega = k(z - \omega)\] \[\text{Réflexion d'axe } (Ox) : \quad z' = \bar{z}\]Partant de \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\), on identifie \(\theta = \arg a\) et le centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\). Il suffit ensuite de vérifier que \(\omega\) est bien fixe : \(a\omega + b = \omega \Leftrightarrow \omega(a-1) = -b \Leftrightarrow \omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Déterminons l'écriture de la rotation \(r\) de centre \(\Omega(1+i)\)
et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
On écrit \(z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(z - (1+i)) = i(z-1-i)\),
donc \(z' = iz - i(1+i) + 1 + i = iz + 1 - i^2 + i - i = iz + 1 + 1 = iz + 2\).
Vérification : \(r(\Omega)\) vaut \(i(1+i)+2 = i - 1 + 2 = 1 + i = \omega\). Correct.
On donne \(f : z' = -z + 2 + 4i\). Ici \(a = -1 = e^{i\pi}\), donc \(|a| = 1\) et \(\theta = \pi\) : il s'agit d'une rotation d'angle \(\pi\), c'est-à-dire d'une symétrie centrale. Son centre vaut \(\omega = \dfrac{2+4i}{1-(-1)} = \dfrac{2+4i}{2} = 1+2i\). C'est la symétrie centrale de centre \((1;\,2)\).
Soit \(h : z' = 3z - 6 + 6i\). On a \(a = 3 \in \mathbb{R}^*\), \(\theta = 0\) : c'est une homothétie de rapport \(3\). Centre : \(\omega = \dfrac{-6+6i}{1-3} = \dfrac{-6+6i}{-2} = 3 - 3i\). L'homothétie a pour centre \(\Omega(3;\,-3)\) et pour rapport \(3\).
Quand \(a\) est réel positif, c'est une homothétie (angle nul). Quand \(a\) est réel négatif, c'est une homothétie de rapport \(|a|\) suivie d'une rotation d'angle \(\pi\), ce qui revient à une similitude directe dont on calcule quand même le centre par la formule.
Figure interactive — Rotation dans le plan complexe
image \(M'(z')\)
centre \(\Omega\)