Terminale C · Leçon 17
Nombres complexes et géométrie du plan
Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité
Le plan complexe permet de traduire les propriétés géométriques en calculs algébriques, et réciproquement. L'outil central est le quotient \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\), dont le module et l'argument encodent à la fois un rapport de distances et un angle orienté.
Pour trois points distincts \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) du plan complexe :
\[ \left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = \frac{AC}{AB} \qquad \text{et} \qquad \arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \pmod{2\pi}. \]Ce résultat est le point d'entrée de tous les critères géométriques dans le plan complexe.
- Calculer le quotient \(q = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) sous forme algébrique.
- Analyser \(|q|\) : si \(|q| = 1\), le triangle est isocèle en \(A\) ; si \(|q| \neq 1\), déterminer le rapport \(AC/AB\).
- Analyser \(\arg(q)\) : angle orienté \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\), ce qui donne le type d'angle en \(A\).
- Si \(q = i\), le triangle est rectangle isocèle en \(A\) dans le sens direct.
\(A(1)\), \(B(2+i)\), \(C(i)\).
\(z_B - z_A = 1 + i\), \(\quad z_C - z_A = -1 + i\).
\(q = \dfrac{-1+i}{1+i} = \dfrac{(-1+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{-1+i+i-i^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = i\).
\(|q| = 1\) et \(\arg(q) = \dfrac{\pi}{2}\) :
le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\),
et le sens de rotation de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{AC}\) est direct.
Montrer que \(A(1+i)\), \(B(3+2i)\), \(C(7+4i)\) sont alignés.
\(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{6+3i}{2+i} = \dfrac{(6+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
= \dfrac{12 - 6i + 6i - 3i^2}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 \in \mathbb{R}\).
Le quotient est réel (et même positif : \(C\) est dans le même sens que \(B\)
par rapport à \(A\)), donc les trois points sont bien alignés, avec \(AC = 3 \cdot AB\).
L'ensemble des images des complexes \(z\) vérifiant \(\arg(z - z_A) = \theta_0\) (modulo \(2\pi\)) est la demi-droite d'origine \(A\) (exclu) dans la direction \(\theta_0\).
L'ensemble des \(M(z)\) tels que \(\arg\!\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2}\) (modulo \(\pi\)) est le cercle de diamètre \([AB]\), privé des points \(A\) et \(B\). Ce résultat traduit le théorème de l'angle inscrit.
Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que
\(\arg\!\left(\dfrac{z - i}{z + i}\right) = \dfrac{\pi}{2}\).
C'est le cercle de diamètre dont les extrémités sont \(A(-i)\) et \(B(i)\),
c'est-à-dire le cercle centré en \(O\) de rayon \(1\),
privé des points \(\pm i\) : le cercle unité privé de ses intersections
avec l'axe imaginaire.
Pour calculer \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\), multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Une fois le quotient sous forme algébrique \(x + iy\), on lit directement : \(y = 0\) pour l'alignement, \(x = 0\) pour la perpendicularité, \(x^2 + y^2 = 1\) pour l'isocèle, et \(x = \tfrac{1}{2}, y = \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour l'équilatéral.
Triangle \(ABC\) — module et argument du quotient \((z_C - z_A)/(z_B - z_A)\)
angle en \(A\)
triangle \(ABC\)
Déplacer les points \(A\), \(B\), \(C\) dans le plan
Résumé
Si \(\Delta < 0\), les racines sont \(\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), toujours conjuguées. Les relations de Viète s'appliquent dans tous les cas.
Système : \(x^2 - y^2 = a\), \(2xy = b\), \(x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}\). Signe de \(y\) imposé par \(b\). Les deux racines sont opposées.
Linéarisation : Euler + binôme de Newton, puis regroupement conjugués. Sens inverse (Moivre) : développer \((\cos\theta + i\sin\theta)^n\), identifier \(\Re\) et \(\Im\).
\(z_k = e^{2ik\pi/n}\), polygone régulier à \(n\) sommets, somme nulle. Racines cubiques : \(1, j, j^2\) avec \(1+j+j^2 = 0\), \(j^3 = 1\).
Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) : module = rapport \(AC/AB\), argument = angle orienté \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Réel ⇒ aligné ; imaginaire pur ⇒ perp. ; module 1 ⇒ isocèle.