Terminale C · Leçon 6
Fonctions exponentielles et fonctions puissances
Ce que dit le programme officiel (16 points)
- la définition de la fonction exponentielle népérienne
- la définition d’une fonction exponentielle de base 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+∗ \ {1})
- les propriétés algébriques de la fonction exponentielle népérienne
- la dérivée de la fonction exponentielle népérienne
- le sens de variation de la fonction exponentielle népérienne
- la représentation graphique de la fonction exponentielle népérienne
- les propriétés algébriques de la fonction exponentielle de base 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+∗ \ {1})
- les propriétés algébriques de la fonction puissance d’exposant réel non nul
- l’allure de la courbe représentative de la fonction 𝑥 ⟼ 𝑥^𝛼 ; 𝛼 ≠ 0 suivant que 𝛼 < 1 ou 𝛼 > 1.
- les limites de référence de la fonction exponentielle népérienne
- les fonctions dérivées des fonctions du type : exp ∘ 𝑢 et 𝑢^𝛼,𝛼 ∈ ℝ∗
- les primitives des fonctions du type: 𝑢′𝑒^𝑢 et 𝑢′𝑢^𝑚 , 𝑚 ∈ ℝ\{−1}
- les propriétés relatives à la croissance comparée des fonctions logarithme népérien, exponentielles et puissances
- étudier une fonction faisant intervenir la fonction exponentielle népérienne
- étudier une fonction faisant intervenir une fonction puissance d’exposant réel non nul
- traiter une situation faisant appel aux fonctions exponentielles et puissances
Source : Programme éducatif Terminale C, DPFC, version CND 0923
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes — elle réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est bien définie.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0).\]Les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre :
\[e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R}).\]De plus : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((e^x)' = e^x\). Comme \(e^x > 0\), elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.\]Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le point \((a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(\ln\) si et seulement si \((b\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\).
- \(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\).
- \(e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k\) (avec \(k > 0\) ; impossible si \(k \le 0\)).
- \(e^x \ge k \Leftrightarrow x \ge \ln k\) si \(k > 0\).
Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Poser \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X-1)(X-2) = 0\).
- \(X = 1 \Rightarrow x = 0\).
- \(X = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
Résoudre \(\ln(e^x + 1) = 2\).
\[e^x + 1 = e^2 \Rightarrow e^x = e^2 - 1 \Rightarrow x = \ln(e^2 - 1) \approx 1{,}87.\]On vérifie \(e^2 - 1 > 0\).
- \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\).
- \((e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}\).
- \(\left(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'équation \(e^x = 0\) n'a aucune solution. Si un raisonnement aboutit à \(e^x \le 0\), une erreur a été commise en amont. Ne pas écrire non plus \(e^a \times e^b = e^{ab}\) : la règle est \(e^a \times e^b = e^{a+b}\).
Figure interactive — Symétrie de \(\ln\) et \(\exp\) par rapport à \(y = x\)
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
point et symétrique
Déplacer le curseur pour choisir un point sur la courbe de ln
Le point \(A = (a\,;\,\ln a)\) est sur la courbe de \(\ln\). Son symétrique \(A' = (\ln a\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\). Le segment \(AA'\) est perpendiculaire à la droite \(y=x\) et coupé en son milieu par elle.
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Puissances d'exposant réel et racines n-ièmes
Les puissances entières sont familières. La nouveauté est d'étendre la notion à un exposant réel quelconque — ce qui permet d'écrire \(2^{\sqrt{3}}\) ou \(x^{1/3}\) de façon cohérente.
Pour \(a > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
\[a^\alpha = e^{\alpha \ln a}.\]Cette définition est cohérente avec les puissances entières et impose \(a > 0\).
Et : \(\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(a > 0\).
La fonction \(x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}.\]Si \(\alpha > 0\) : strictement croissante, \(\lim_{+\infty} x^\alpha = +\infty\), \(\lim_{0^+} x^\alpha = 0\). Si \(\alpha < 0\) : décroissante, limites échangées.
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x > 0\) :
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}.\]C'est l'unique réel strictement positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\).
- \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\).
- \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\).
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} = 9^{1/2} = 3\).
- Dérivée de \(f(x) = x^{5/3}\) : \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\).
- \(x^\alpha\) vs \(a^x\) : dans \(x^\alpha\), l'exposant est fixe, la base varie — dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\). Dans \(a^x = e^{x\ln a}\), la base est fixe, l'exposant varie — dérivée \(\ln(a) \cdot a^x\). Ce sont deux natures très différentes.
- Domaine : \(x^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) n'est définie (au sens réel) que pour \(x > 0\).
Figure interactive — Familles de fonctions puissances \(x^\alpha\)
tangente en \(x=1\)
Déplacer le curseur pour faire varier l'exposant \(\alpha\)
Toutes les courbes \(x^\alpha\) passent par \((1\,;\,1)\). La pente de la tangente en ce point vaut \(\alpha\). Quand \(\alpha > 0\) la fonction est croissante ; quand \(\alpha < 0\) elle est décroissante. Le cas \(\alpha = 1\) donne la droite \(y = x\).
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.
Primitives de fonctions composées (forme u′·g(u))
| Forme de \(f\) | Primitive |
|---|---|
| \(u'\,u^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'\,e^u\) | \(e^u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
\(f(x) = 2x\,e^{x^2}\). Poser \(u = x^2\), \(u' = 2x\) — c'est exactement \(u'e^u\) :
\[F(x) = e^{x^2} + C.\]Vérification : \(F'(x) = 2x\,e^{x^2} = f(x)\).
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\). Poser \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\) :
\[G(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C.\]Primitive vérifiant \(G(0) = 1\) : \(G(0) = 0 + C = 1\), donc \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + 1\).
\(h(x) = x(x^2+3)^4\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\), donc \(x = \dfrac{u'}{2}\) :
\[H(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+3)^5}{5} + C = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C.\]\(k(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\) sur un intervalle où \(\sin x > 0\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[K(x) = 2\sqrt{\sin x} + C.\]La primitive trouvée par reconnaissance de forme doit toujours être vérifiée en dérivant. Une erreur sur la constante multiplicative passe inaperçue à la lecture, mais trahit immédiatement à la dérivation.
Des intégrales comme \(\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx\) ou \(\displaystyle\int e^x \cos x\,dx\) nécessitent substitution trigonométrique ou intégration par parties — vues dans le chapitre suivant. Pour le Bac série C, les exercices restent dans le cadre de la reconnaissance de formes.
Croissances comparées
La question « quelle fonction l'emporte à l'infini ? » est fondamentale pour calculer des limites. La réponse est une hiérarchie stricte entre les trois grandes familles.
| Limite | Condition | Résultat |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(+\infty\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x\) | \(n \in \mathbb{N}\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}\) | — | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) | — | \(1\) |
Même \(x^{1000}\) est négligeable devant \(e^x\) à l'infini. Et même si \(\ln x \to +\infty\), c'est infiniment plus lentement que \(x^{0{,}001}\).
- Identifier la forme indéterminée (\(\tfrac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\), etc.).
- Factoriser par le terme dominant selon la hiérarchie (exp \(\succ\) puissances \(\succ\) ln).
- Faire apparaître l'une des limites de référence et conclure.
Conséquence : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x = \lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} = e^0 = 1\), car \(x\ln x \to 0\) et \(\exp\) est continue.
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1\) est simplement la dérivée de \(\exp\) en 0 :
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x - e^0}{x - 0} = (e^x)'\big|_{x=0} = e^0 = 1.\]De même, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = (\ln x)'\big|_{x=1} = 1\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (\ln(x+1) - \ln x)\).
\[\ln(x+1) - \ln x = \ln\!\left(1 + \frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x\to+\infty]{} \ln(1) = 0.\]Face à une forme indéterminée mêlant \(e^x\), \(x^\alpha\) et \(\ln x\) : toujours factoriser par le terme dominant, puis appliquer les limites de référence. Ne pas essayer de simplifier une forme \(\infty/\infty\) sans cette étape.
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln x\), \(x^\alpha\), \(e^x\)
\(x^\alpha\)
\(e^x\)
Déplacer les curseurs pour changer \(\alpha\) et l'échelle
Augmentez le zoom pour voir l'exponentielle (rouge) dépasser irrémédiablement toute puissance (vert), quelle que soit la valeur de \(\alpha\). Même avec \(\alpha = 3\), \(x^3\) reste négligeable devant \(e^x\) pour \(x\) assez grand.
Plan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
- Ensemble de définition \(D_f\)
- Parité / Périodicité
- Limites aux bornes de \(D_f\)
- Asymptotes — AV, AH, AO
- Dérivée \(f'(x)\) et son domaine
- Tableau de signes de \(f'\) → tableau de variations
- Points remarquables — axes, extremums, inflexion
- Tangentes particulières
- Tracé cohérent avec toutes les informations
Mise en équations d'un problème (systèmes)
Rappel de SecondeUne inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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Primitive de \(1/x\) sur \(]0;+\infty[\), nulle en 1. Dérivée \(1/x\), strictement croissante. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\). \((e^x)' = e^x > 0\), strictement croissante. \(e^{a+b}=e^ae^b\). Jamais nulle.
\(a^\alpha = e^{\alpha\ln a}\) pour \(a>0\). \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\). \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
\(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) à \(+\infty\). \(x^\alpha\ln x \to 0\) en \(0^+\) (\(\alpha>0\)). \((e^x-1)/x \to 1\) en 0.
Vérifier l'ensemble de validité avant tout. \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b\). \(e^a = e^b \Leftrightarrow a=b\).
Limites aux bornes → branches infinies. Signe de \(f'\) → variations, min/max. TVI + monotonie → solutions et balayage.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).
1. Étudier les limites aux bornes. 2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations. 3. Montrer que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\). 4. L'équation \(f(x) = 2\) admet-elle des solutions ? Combien ? Les encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Limites aux bornes.
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\), car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) (croissance comparée, \(\alpha=1\)).
Partie 2 — Variations.
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\) :
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f(1) = 1 - 0 = 1\) : minimum global.
Partie 3 — Inégalité \(\ln x < x\).
D'après le tableau, \(f(x) \ge f(1) = 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\).
Partie 4 — Solutions de \(f(x) = 2\).
Comme \(f(1) = 1 < 2\) et \(f \to +\infty\) aux deux extrémités, la droite \(y=2\) coupe la courbe en deux points — un sur chaque branche monotone. L'équation a exactement deux solutions.
| \(x\) | \(f(x) = x - \ln x\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 0,1 | \(\approx 2{,}403\) | \(> 2\) |
| 0,2 | \(\approx 1{,}809\) | \(< 2\) |
| 0,15 | \(\approx 2{,}047\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_1 \in\, ]0{,}15\,;\,0{,}20[\).
| \(x\) | \(f(x)\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 3,1 | \(\approx 1{,}969\) | \(< 2\) |
| 3,2 | \(\approx 2{,}037\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_2 \in\, ]3{,}1\,;\,3{,}2[\).