Statistiques à deux variables

Exercice 2 — Régression linéaire

Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :

Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$   $b=\bar{y}-a\bar{x}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.

2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.

3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.

Exercice 1 — Point moyen

Soit la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$. Calculer $\bar x$ et $\bar y$.

Exercice 2 — Sommes préparatoires

Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\sum x_iy_i$ et $\sum x_i^2$.

Exercice 4 — Production agricole

Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :

1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.

2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.

3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.

4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.

Exercice 6 — Ajustement puissance

Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :

1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$.  2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$.  3. Déduire $a$, $b$.  4. Prévision pour $x=600$.  5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.

Exercice 3 — Droite de régression

Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\text{cov}(x,y)$ et $V(x)$, puis en déduire les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression $y=ax+b$.

Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :

Partie A — Ajustement linéaire

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.

2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.

Partie B — Ajustement exponentiel

3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.

4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?

Partie C — Application

5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?

Exercice 4 — Coefficient de corrélation

Pour la série $(2\,;1)$, $(4\,;3)$, $(6\,;4)$, $(8\,;7)$, $(10\,;8)$, calculer $\bar x$, $\bar y$, $\text{cov}(x,y)$, $V(x)$, $V(y)$ et le coefficient de corrélation $r$. Conclure sur la qualité de l'ajustement affine.

Exercice 5 — Régression et extrapolation

En utilisant $\bar x=6$, $\bar y=4{,}6$, $\text{cov}(x,y)=7{,}2$ et $V(x)=8$ (résultats de l'exercice précédent), déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, puis estimer $y$ pour $x=12$.

Une coopérative qui transforme et vend du beurre de karité fait passer des annonces sur une radio locale. Pendant cinq mois, elle a noté son budget de publicité \(x_i\), en dizaines de milliers de francs, et sa recette du mois \(y_i\), en centaines de milliers de francs.

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points, puis les variances \(V(x)\) et \(V(y)\).

2) Calcule la covariance de la série, puis son coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Un ajustement linéaire est-il justifié ?

3) Détermine une équation de la droite \((D)\) de régression de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés. Quelle recette peut-on prévoir pour un budget de publicité de 100 000 francs ?

4) Détermine une équation de la droite \((D')\) de régression de \(x\) en \(y\). La coopérative vise une recette de 2 000 000 de francs : estime le budget de publicité nécessaire à l'aide de \((D')\), puis compare avec la valeur que donnerait la droite \((D)\).

5) On note \(a\) et \(a'\) les coefficients de \(x\) dans l'équation de \((D)\) et de \(y\) dans l'équation de \((D')\). Démontre que, pour toute série dont les variances ne sont pas nulles, \(a\times a'=r^2\), et vérifie-le ici. Explique alors pourquoi les droites \((D)\) et \((D')\), qui passent toutes deux par \(G\), ne sont pas confondues.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on considère la série statistique double représentée par les quatre points \(M_1(0;3)\), \(M_2(1;2)\), \(M_3(3;6)\) et \(M_4(4;9)\). On note \((x_i;y_i)\) les coordonnées du point \(M_i\).

1) Calcule les coordonnées \((\bar{x};\bar{y})\) du point moyen \(G\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), et la covariance de la série.

2) Pour tout réel \(m\), on note \((\Delta_m)\) la droite passant par \(G\) et de coefficient directeur \(m\), et \(S(m)\) la somme des carrés des quatre écarts \(y_i-\left(\bar{y}+m(x_i-\bar{x})\right)\) entre l'ordonnée de chaque point \(M_i\) et celle du point de \((\Delta_m)\) de même abscisse. Démontre que \(S(m)=10m^2-32m+30\).

3) Étudie les variations de la fonction \(S\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en la valeur \(m_0\) de \(m\) pour laquelle \(S(m)\) est minimale, la valeur de ce minimum, et l'équation réduite de la droite \((\Delta_{m_0})\).

4) Compare \(m_0\) au quotient de la covariance par \(V(x)\). Quelle droite reconnais-tu ? Explique ce que les questions précédentes viennent d'établir à son sujet.

5) Calcule la valeur exacte de \(r^2\), où \(r\) est le coefficient de corrélation linéaire de la série, puis l'arrondi au centième de \(r\). Vérifie que \(S(m_0)=4V(y)\left(1-r^2\right)\). Sachant qu'une égalité de cette forme est vraie pour toute série, justifie qu'un coefficient de corrélation linéaire est toujours compris entre \(-1\) et 1.

Dans un lycée, on a interrogé 50 élèves de Terminale sur le nombre d'heures \(x\) qu'ils consacrent chaque semaine à réviser les mathématiques en dehors des cours, et on a relevé leur note \(y\), sur 20, au dernier devoir commun. Les résultats, regroupés, sont donnés dans le tableau à double entrée ci-dessous : par exemple, 5 élèves révisent 2 heures et ont obtenu 12.

1) Détermine la série marginale du caractère \(x\) et celle du caractère \(y\), avec leurs fréquences marginales.

2) Calcule les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), et donne les coordonnées du point moyen \(G\).

3) Calcule la covariance de la série.

4) Calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\). Interprète sa valeur.

5) Détermine une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). Quelle note cette droite fait-elle prévoir pour un élève qui révise 5 heures par semaine ?

6) Calcule la note moyenne des élèves qui révisent 2 heures, puis celle des élèves qui révisent 4 heures, puis 6 heures. Vérifie que les trois points ainsi obtenus sont sur la droite de régression. En tenant compte de la valeur de \(r\), explique ce que cette droite permet de prévoir et ce qu'elle ne permet pas de prévoir.

Une jeune entreprise livre des repas à domicile dans une grande ville. Le tableau donne son nombre d'abonnés \(y_i\) à la fin de chacune de ses cinq premières années, de rang \(x_i\), ainsi que \(z_i=\ln y_i\), arrondi au centième.

1) Calcule les augmentations successives du nombre d'abonnés d'une année à la suivante, puis les quotients \(\dfrac{y_{i+1}}{y_i}\), arrondis au centième. Explique pourquoi un ajustement affine de \(y\) en \(x\) est peu adapté, et pourquoi il est naturel d'étudier plutôt la série \((x_i;z_i)\).

2) Avec les valeurs du tableau, calcule les coordonnées du point moyen du nuage des points de coordonnées \((x_i;z_i)\), la variance \(V(x)\) et la covariance de \(x\) et \(z\).

3) Détermine une équation de la droite de régression de \(z\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.

4) Déduis-en une expression de \(y\) en fonction de \(x\). On note \(u_n\) le nombre d'abonnés que cette expression donne pour l'année de rang \(n\). Démontre que la suite \((u_n)\) est géométrique et interprète sa raison par un pourcentage d'augmentation annuelle, arrondi à l'unité.

5) Avec ce modèle, estime le nombre d'abonnés à la fin de l'année de rang 8, arrondi à l'unité, puis détermine le rang de la première année à la fin de laquelle le nombre d'abonnés dépasserait 10 000.