Terminale C · Leçon 16
Similitudes directes du plan
Exercices corrigés
Translation — écriture complexe
Exercice 1 — Translation
Soit $f$ la transformation du plan d'écriture complexe $z' = z + 3 - 2i$.
1. Reconnaître la nature précise de $f$.
2. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1+i$.
3. Déterminer l'antécédent du point $B$ d'affixe $0$.
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- Nature de f
L'écriture est de la forme $z'=z+b$ avec $b=3-2i$ : $f$ est la translation de vecteur d'affixe $3-2i$. - Image de A
$$z_{A'} = (1+i)+3-2i = 4-i.$$ Donc $A'(4-i)$. - Antécédent de B
On résout $z'=0$ : $z+3-2i=0 \Rightarrow z = -3+2i$. L'antécédent est le point $C(-3+2i)$.
Rotation — centre et angle
Exercice 2 — Rotation
Soit $g$ la transformation d'écriture complexe $z' = iz+1$.
1. Montrer que $g$ est une rotation et donner son angle.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de cette rotation.
3. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1$.
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- Nature et angle
On a $a=i$ avec $|a|=1$ et $a\neq 1$ : $g$ est une rotation d'angle $\theta = \arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$. - Centre (point fixe)
On résout $z=iz+1 \Leftrightarrow z(1-i)=1 \Leftrightarrow z=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{2}$. Donc $\Omega\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$. - Image de A
$$z_{A'} = i\times 1+1 = 1+i.$$
Homothétie — vérification du rapport
Exercice 3 — Homothétie
Soit $h$ la transformation d'écriture complexe $z' = 2z-2+2i$.
1. Reconnaître la nature de $h$.
2. Déterminer son centre $\Omega$.
3. Déterminer l'image $A'$ du point $A$ d'affixe $3$, puis vérifier que $\Omega A' = 2\,\Omega A$.
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- Nature de h
$a=2$ est un réel strictement positif différent de $1$ : $h$ est l'homothétie de rapport $k=2$. - Centre
On résout $z=2z-2+2i \Leftrightarrow -z=-2+2i \Leftrightarrow z=2-2i$. Donc $\Omega(2-2i)$. - Image et vérification
$z_{A'} = 2\times3-2+2i = 4+2i$. On calcule $\Omega A = |z_A-z_\Omega| = |3-(2-2i)| = |1+2i| = \sqrt{5}$ et $\Omega A' = |z_{A'}-z_\Omega| = |4+2i-(2-2i)| = |2+4i| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. On a bien $\Omega A' = 2\sqrt{5} = 2\times\sqrt{5} = 2\,\Omega A$, conforme à la propriété de l'homothétie de rapport $2$.
Similitude directe — caractérisation complète
Exercice 4 — Caractériser une similitude directe
Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z' = (1-i)z+4$.
1. Donner le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de $s$.
3. Vérifier que $\Omega$ est bien invariant par $s$.
4. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $2i$.
Similitude déterminée par un bipoint
Exercice 5 — Détermination par l'image d'un bipoint
On considère les points $A(1)$, $B(3)$, $A'(2)$ et $B'(2+4i)$. Il existe une unique similitude directe $s$, d'écriture complexe $z'=az+b$, telle que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
1. Calculer $a$ puis $b$.
2. En déduire le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
3. Vérifier que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
4. Déterminer le centre de $s$.
Image d'un cercle par une similitude directe
Exercice 6 — Image d'un cercle
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.
1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.
Composée de deux similitudes directes, réciproque et aire d'un triangle
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère la similitude directe \(s_1\) d'écriture complexe \(z'=2\mathrm{i}z+5\) et la similitude directe \(s_2\) d'écriture complexe \(z'=(1+\mathrm{i})z-3-2\mathrm{i}\).
1) Détermine le rapport, l'angle et l'affixe du centre de chacune des similitudes \(s_1\) et \(s_2\). On note \(A\) le centre de \(s_1\) et \(B\) celui de \(s_2\).
2) Détermine l'écriture complexe de \(s=s_2\circ s_1\) (on applique d'abord \(s_1\)). Calcule le rapport et l'angle de \(s\) à partir de cette écriture, puis justifie ces deux valeurs par une propriété du cours.
3) Détermine l'affixe du centre \(C\) de \(s\) et vérifie ton résultat.
4) Détermine l'écriture complexe de la réciproque de \(s_1\), puis donne sa nature et ses éléments caractéristiques.
5) Calcule l'aire du triangle \(ABC\). Déduis-en, en justifiant, l'aire du triangle image de \(ABC\) par \(s\). Contrôle ce résultat en calculant les affixes des images de \(A\) et de \(B\).
Un carré dont un sommet décrit un cercle : deux lieux géométriques
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct. On donne le point \(A(1\,;\,0)\) et le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(I(3\,;\,1)\) et de rayon 2. À tout point \(M\) de \((\mathcal{C})\) on associe le carré \(AMNK\) de sens direct (les sommets sont nommés en tournant dans le sens direct) et on note \(Q\) le centre de ce carré.
1) Vérifie que \(A\) n'appartient pas à \((\mathcal{C})\). Démontre que \(AN=\sqrt{2}\,AM\) et que \((\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN})=\dfrac{\pi}{4}\). Déduis-en que \(N\) est l'image de \(M\) par une similitude directe \(S\) dont tu préciseras le centre, le rapport et l'angle.
2) Détermine l'écriture complexe de \(S\).
3) Détermine le lieu géométrique du point \(N\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal{C})\) : donne son centre et son rayon.
4) Démontre que \(Q\) est l'image de \(M\) par une similitude directe \(S'\) de centre \(A\), dont tu donneras le rapport et l'angle. Déduis-en le lieu géométrique de \(Q\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal{C})\).
5) La droite \((d)\) d'équation \(x=5\) est tangente à \((\mathcal{C})\) au point \(T(5\,;\,1)\). Calcule les coordonnées de \(T'=S(T)\), puis justifie, par une propriété de conservation, que l'image de \((d)\) par \(S\) est tangente en \(T'\) au lieu trouvé à la question 3. Donne une équation de cette image.
Deux cartes superposées : le point qui se trouve au-dessus de lui-même
Une grande carte d'une région est étalée sur une table. Dans un repère orthonormé direct lié à la table, d'unité le centimètre, le puits d'un village est dessiné au point \(P(0\,;\,0)\) et l'école au point \(E(8\,;\,4)\). On pose sur cette carte une carte plus petite de la même région, tournée par rapport à la grande. Sur la petite carte, le puits est dessiné au point \(P'(6\,;\,2)\) et l'école au point \(E'(4\,;\,6)\), toujours dans le repère de la table. La transformation \(S\) qui, au dessin d'un lieu sur la grande carte, associe le dessin du même lieu sur la petite carte est une similitude directe.
1) Justifie que les données \(S(P)=P'\) et \(S(E)=E'\) déterminent une unique similitude directe. Calcule son rapport et démontre que son angle est \(\dfrac{\pi}{2}\).
2) Détermine l'écriture complexe \(z'=az+b\) de \(S\).
3) Détermine les coordonnées du centre \(\Omega\) de \(S\) et interprète ce point dans la situation des deux cartes.
4) Un champ est représenté sur la grande carte par le triangle \(PEF\), avec \(F(2\,;\,6)\). Sur la grande carte, 1 centimètre représente 100 mètres. Calcule l'aire du triangle \(PEF\) en centimètres carrés et l'aire réelle du champ en hectares. Détermine, en justifiant, l'aire du dessin du champ sur la petite carte, puis contrôle ce résultat en calculant les coordonnées de \(F'=S(F)\).
5) Une route rectiligne est représentée sur la grande carte par la droite \((PE)\). Justifie sans calcul que son dessin sur la petite carte est perpendiculaire à \((PE)\), puis donne une équation de ce dessin.
Une spirale de points : similitude directe et suites géométriques
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'unité 1 centimètre, on considère la similitude directe \(S\) d'écriture complexe \(z'=\dfrac{3}{4}\mathrm{i}z+4-3\mathrm{i}\). On définit la suite de points \((M_n)\) par : \(M_0\) est le point d'affixe \(z_0=20\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(M_{n+1}=S(M_n)\). On note \(z_n\) l'affixe de \(M_n\).
1) Détermine les éléments caractéristiques de \(S\) ; on note \(A\) son centre. Calcule \(z_1\) et \(z_2\).
2) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n=AM_n\). Démontre que la suite \((d_n)\) est géométrique, exprime \(d_n\) en fonction de \(n\) et donne sa limite. Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(d_n\lt 1\).
3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), le triangle \(AM_nM_{n+1}\) est rectangle en \(A\), puis que \(M_nM_{n+1}=\dfrac{5}{4}d_n\).
4) On note \(L_n=M_0M_1+M_1M_2+\cdots+M_{n-1}M_n\) la longueur de la ligne brisée qui joint \(M_0\) à \(M_n\), pour \(n\ge 1\). Exprime \(L_n\) en fonction de \(n\), puis détermine la limite de \((L_n)\) et interprète-la.
5) On note \(a_n\) l'aire du triangle \(AM_nM_{n+1}\). Calcule \(a_0\). En utilisant l'image du triangle \(AM_nM_{n+1}\) par \(S\), démontre que la suite \((a_n)\) est géométrique et exprime \(a_n\) en fonction de \(n\).