Primitives

Exercice 2 — Recherche d'une primitive

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=2$.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, puis vérifie ton résultat en dérivant.

1) \(f(x)=6x^2-4x+1\) sur \(\mathbb{R}\).

2) \(g(x)=\dfrac1{x^2}+x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

3) \(h(x)=\dfrac1{\sqrt x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).

4) \(k(x)=\cos x-3\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en reconnaissant une forme usuelle.

1) \(f(x)=(2x+1)^4\) sur \(\mathbb{R}\).

2) \(g(x)=\dfrac x{x^2+4}\) sur \(\mathbb{R}\).

3) \(h(x)=e^{3x-1}\) sur \(\mathbb{R}\).

4) \(k(x)=\sin x\,\cos^3x\) sur \(\mathbb{R}\).

1) Soit \(f(x)=\dfrac3{3x+2}\) sur \(I=\left]-\dfrac23\,;+\infty\right[\). Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(0\).

2) Soit \(g(x)=x\,e^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine la primitive \(G\) de \(g\) telle que \(G(0)=1\).

3) Soit \(h(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine la primitive \(H\) de \(h\) telle que \(H(1)=0\).

1) Soit \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}\) sur \(]-1\,;+\infty[\). Montre que \(f(x)=2+\dfrac1{x+1}\), puis détermine une primitive de \(f\).

2) Soit \(g(x)=(2x+3)e^x\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que \(G(x)=(ax+b)e^x\) soit une primitive de \(g\).

3) En linéarisant \(\cos^2x\), détermine la primitive \(K\) de \(x\mapsto\cos^2x\) qui s'annule en \(0\), puis calcule \(K(\pi)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(I=\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{2x+1}}\).

1) Justifie que \(f\) admet des primitives sur \(I\). Détermine ensuite les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(F\) définie sur \(I\) par \(F(x)=(ax+b)\sqrt{2x+1}\) soit une primitive de \(f\) sur \(I\).

2) Vérifie que, pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{2x+1}-\dfrac{3}{2\sqrt{2x+1}}\). Retrouve alors une primitive de \(f\) sur \(I\) à l'aide des formes \(u'\times u^{m}\) et \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\), puis compare-la à \(F\).

3) Détermine la primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) qui prend la valeur 5 en 4.

4) Étudie les variations de \(G\) sur \(I\), calcule ses limites aux bornes de \(I\) et dresse son tableau de variation.

5) Démontre que l'équation \(G(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(I\), puis justifie que \(2{,}6\lt\alpha\lt 2{,}61\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=8\sin^4 x\). On rappelle que, pour tout réel \(a\), \(\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\) et \(\cos^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}\).

1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\cos 4x-4\cos 2x+3\).

2) Détermine l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), puis la primitive \(F\) de \(f\) qui s'annule en 0.

3) Calcule les valeurs exactes de \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et de \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).

4) Justifie, sans nouveau calcul de dérivée, que \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(F(x+\pi)=F(x)+3\pi\), interprète cette égalité et déduis-en \(F(2\pi)\).

5) Pour une puissance impaire, on procède autrement. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\sin^5 x\). En écrivant \(\sin^5 x=\sin x\,(1-\cos^2 x)^2\), détermine la primitive \(H\) de \(h\) sur \(\mathbb{R}\) qui s'annule en \(\dfrac{\pi}{2}\), puis calcule \(H(0)\) et \(H(\pi)\).

À un feu tricolore, une moto à l'arrêt démarre à l'instant \(t=0\) et roule en ligne droite. Pendant les 8 premières secondes, son accélération, en mètres par seconde carrée, est \(a(t)=\dfrac{3}{\sqrt{t+1}}\), où \(t\) est en secondes. On note \(v(t)\) sa vitesse, en mètres par seconde, et \(x(t)\) la distance parcourue depuis le feu, en mètres. On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse et que la vitesse est la dérivée de la distance parcourue.

1) Détermine \(v(t)\) pour tout \(t\) de \([0;8]\).

2) Justifie que la vitesse augmente pendant tout le démarrage. Calcule la vitesse atteinte au bout de 8 secondes, en mètres par seconde puis en kilomètres par heure, ainsi que l'instant où la vitesse vaut 6 mètres par seconde.

3) Détermine \(x(t)\) pour tout \(t\) de \([0;8]\), puis la distance parcourue en 8 secondes.

4) Calcule la vitesse moyenne de la moto sur ces 8 secondes. À quel instant sa vitesse est-elle égale à cette vitesse moyenne ? Interprète le résultat.

5) À l'instant où la moto démarre, un cycliste la dépasse : il roule dans le même sens à la vitesse constante de 4 mètres par seconde. On note \(e(t)\) l'avance du cycliste sur la moto, en mètres. Exprime \(e(t)\), étudie ses variations sur \([0;8]\), puis donne l'avance maximale du cycliste et l'instant où elle est atteinte. Lequel des deux est devant au bout de 8 secondes ?

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(I=]-1;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{2x^3+6x^2+4}{(x+1)^3}\).

1) Détermine les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)=a+\dfrac{b}{(x+1)^2}+\dfrac{c}{(x+1)^3}\).

2) Détermine l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\), puis la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en 1.

3) On pose \(N(x)=2x^3+6x^2+4\). Étudie les variations de \(N\) sur \(I\) et déduis-en le signe de \(f(x)\), puis le sens de variation de \(F\) sur \(I\).

4) Calcule les limites de \(F\) aux bornes de \(I\). Démontre que la courbe \((\mathcal{C})\) de \(F\) admet deux asymptotes, dont la droite \((D)\) d'équation \(y=2x-4\), et étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\).

5) Donne le signe de \(F(x)\) suivant les valeurs de \(x\), puis une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) au point d'abscisse 1.