Nombres complexes et géométrie du plan

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Exercice 1 — Produit sous forme algébrique

Calculer $(2+3i)(1-2i)$ sous forme algébrique.

Exercice 2 — Module et argument

Déterminer le module et un argument de $z = -1+i\sqrt{3}$.

Exercice 3 — Quotient et conjugué

Écrire sous forme algébrique $z = \dfrac{3-i}{1+2i}$, puis déterminer son conjugué $\bar z$.

Exercice 5 — Nature d'un triangle

Soit $A(1+i)$, $B(4+2i)$, $C(4i)$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

Exercice 6 — Lieu géométrique

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-2i}{z+2}$ soit un réel non nul.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(E\) d'affixes respectives \(z_A=3\), \(z_B=2+3i\), \(z_C=-1+2i\) et \(z_E=3i\).

1) Calcule le quotient \(\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\) sous forme algébrique. Déduis-en la nature du triangle \(ABC\).

2) On note \(D\) le point tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Détermine l'affixe de \(D\), puis justifie que \(ABCD\) est un carré.

3) Déduis-en que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) appartiennent à un même cercle \((\Gamma)\) ; précise l'affixe de son centre \(\Omega\) et son rayon.

4) Calcule le quotient \(\dfrac{z_B-z_E}{z_D-z_E}\). Démontre que le triangle \(EBD\) est rectangle en \(E\), puis que le point \(E\) appartient au cercle \((\Gamma)\).

5) Retrouve que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(E\) sont cocycliques en démontrant que le nombre \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\div\dfrac{z_C-z_E}{z_B-z_E}\) est un nombre réel.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\) d'affixe \(4+2i\) et \(B\) d'affixe \(1+2i\). On note \(r_1\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), \(r_2\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(s=r_2\circ r_1\) la transformation obtenue en appliquant \(r_1\) puis \(r_2\).

1) Détermine l'écriture complexe de \(r_1\), puis celle de \(r_2\).

2) Démontre que l'écriture complexe de \(s\) est \(z'=-z+6-2i\). Déduis-en la nature de \(s\) et l'affixe de son point invariant \(I\). Ce résultat est-il en accord avec ce que tu sais de la composée de deux rotations ?

3) Calcule le quotient \(\dfrac{z_O-z_I}{z_A-z_I}\) et déduis-en la nature du triangle \(OIA\).

4) Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(B\) et de rayon 2. Détermine l'image de \((\mathcal{C})\) par \(r_1\), puis son image par \(s\).

5) Détermine l'ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|iz+6-2i|=|z|\). Interprète cette condition à l'aide de la rotation \(r_2\) et vérifie que \(A\) appartient à \((\Delta)\).

Un groupement de maraîchers aménage un terrain au bord d'un fleuve. Le géomètre travaille sur un plan muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), dans lequel une unité représente 10 mètres. Le puits est au point \(A\) d'affixe \(-2-i\), le magasin au point \(B\) d'affixe \(4+2i\), le bassin au point \(C\) d'affixe \(2+i\) et l'entrée au point \(D\) d'affixe \(-3+i\).

1) Une allée rectiligne relie le puits au magasin. Démontre, à l'aide des nombres complexes, que le bassin se trouve sur la droite qui porte cette allée.

2) Démontre que les droites \((AD)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires. Calcule les distances réelles \(AB\) et \(AD\), en mètres (valeurs exactes).

3) La parcelle est le parallélogramme \(ABED\). Détermine l'affixe du point \(E\), précise la nature de \(ABED\) et calcule l'aire de la parcelle en mètres carrés.

4) Un canal part du bassin \(C\) et arrive au point \(G\), image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\). Donne l'écriture complexe de cette translation, calcule l'affixe de \(G\) et démontre que \(G\) est aligné avec \(D\) et \(E\).

5) On veut installer un arroseur tournant à égale distance des quatre coins de la parcelle. Démontre que \(A\), \(B\), \(E\) et \(D\) sont cocycliques, donne l'affixe du point \(\Omega\) où placer l'arroseur, puis interprète le rayon du cercle : quelle portée minimale, en mètres et arrondie au dixième, l'arroseur doit-il avoir pour atteindre les quatre coins ?

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\) d'affixe 4 et \(B\) d'affixe \(1+3i\). On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), \(Q\) l'image de \(B\) par \(r\), \(P\) le point dont l'image par \(r\) est \(A\), et \(I\) le milieu du segment \([AB]\).

1) Donne l'écriture complexe de \(r\), puis calcule les affixes de \(Q\) et de \(P\). Justifie que les triangles \(OPA\) et \(OBQ\) sont rectangles isocèles en \(O\).

2) Calcule le quotient \(\dfrac{z_Q-z_A}{z_B-z_P}\). Déduis-en que \(AQ=PB\) et que les droites \((AQ)\) et \((PB)\) sont perpendiculaires.

3) Vérifie que \(z_Q-z_P=2i\,z_I\). Interprète géométriquement cette égalité pour la droite \((OI)\) et le segment \([PQ]\).

4) Dans cette question, le point \(A\) est inchangé mais \(B\) est un point quelconque, d'affixe \(b\). Démontre que l'égalité \(z_Q-z_P=2i\,z_I\) reste vraie.

5) Le point \(B\) décrit maintenant le cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{10}\). Détermine le lieu du point \(Q\). Donne ensuite l'écriture complexe de l'homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac{1}{2}\), et déduis-en le lieu du point \(I\).