Limites et continuité

Exercice 1 — Étude de continuité en un point

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x \neq 2$ et $f(2) = 5$. Étudier la continuité de $f$ en $2$.

Exercice 2 — Prolongement par continuité

Soit $g(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$. Déterminer le prolongement par continuité de $g$ en $0$.

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 3 — Quantité conjuguée

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 6 — Prolongement puis image d'un intervalle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$. Déterminer le prolongement par continuité $\tilde f$ de $f$ en $1$, puis calculer $\tilde f([-2\,;1])$.

Exercice 4 — Limites à gauche et à droite

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.

Exercice 5 — Domaine et limites

Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.

Exercice 6 — Limite en $-\infty$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé et \((D)\) la droite d'équation \(y=x\). On rappelle que le nombre dérivé de la fonction cosinus en 0 est 0, ce qui s'écrit \(\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\cos u-1}{u}=0\).

1) Démontre que, pour tout réel \(x\gt 0\), on a \(-x\leq f(x)\leq x\). Déduis-en la limite de \(f\) en 0, puis justifie que \(f\) admet un prolongement par continuité en 0, que tu préciseras.

2) Détermine la limite en \(+\infty\) de \(\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\), puis celle de \(f\).

3) Pour \(x\gt 0\), on pose \(u=\dfrac{1}{x}\). Démontre que \(f(x)-x=\dfrac{\cos u-1}{u}\). Déduis-en la limite de \(f(x)-x\) en \(+\infty\) et interprète graphiquement ce résultat.

4) Étudie la position de \((C)\) par rapport à \((D)\) sur \(]0;+\infty[\), puis détermine les abscisses de tous les points communs à \((C)\) et à \((D)\).

5) Résous dans \(]0;+\infty[\) l'équation \(f(x)=0\). Quelle est la plus grande solution ? Démontre que \(f(x)\gt 0\) pour tout réel \(x\) strictement supérieur à cette solution.

Le réservoir d'eau d'un village a la forme d'une sphère de rayon intérieur 3 mètres. Lorsque la hauteur d'eau, mesurée à partir du point le plus bas du réservoir, est \(h\) mètres, avec \(0\leq h\leq 6\), le volume d'eau en mètres cubes est \(V(h)=\dfrac{\pi}{3}h^2(9-h)\) ; on admet cette formule. Le fontainier veut graduer une jauge et cherche la hauteur d'eau pour laquelle le réservoir est rempli au quart de sa capacité. On pose \(g(h)=h^3-9h^2+27\).

1) Calcule la capacité \(V(6)\) du réservoir. Démontre que le réservoir est rempli au quart de sa capacité si et seulement si \(g(h)=0\).

2) Étudie le sens de variation de \(g\) sur \([0;6]\), puis détermine l'image de l'intervalle \([0;6]\) par \(g\).

3) Démontre que l'équation \(g(h)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0;6]\), et que \(1\lt\alpha\lt 2\).

4) Applique trois étapes de la méthode de dichotomie à l'intervalle \([1;2]\) et donne l'encadrement de \(\alpha\) obtenu.

5) Un balayage de pas \(0{,}01\) fournit \(g(1{,}95)\approx 0{,}192\) et \(g(1{,}96)\approx -0{,}045\). Donne la hauteur cherchée au centimètre près. Le fontainier pensait qu'il suffisait de prendre le quart de la hauteur totale, soit \(1{,}5\) mètre : quel pourcentage de la capacité obtient-on à cette hauteur ? Interprète.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Pour tout réel \(x\), on note \(z\) le nombre complexe \(z=x+\mathrm{i}\sqrt{3}\), de partie réelle \(x\), et on pose \(f(x)=x+|z|\), où \(|z|\) désigne le module de \(z\).

1) Exprime \(|z|\) en fonction de \(x\), puis écris \(f(x)\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)=3\), et déduis-en que \(f(x)\gt 0\).

2) Détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis la limite de \(f(x)-2x\) en \(+\infty\). Interprète graphiquement les deux derniers résultats.

3) Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\lt b\). Démontre que \(f(b)-f(a)=(b-a)\left(1+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}}\right)\), puis que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

4) Démontre que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(K\) que tu préciseras. Détermine l'expression de \(f^{-1}(y)\) pour \(y\) dans \(K\) et donne le sens de variation de \(f^{-1}\).

5) Détermine le réel \(x\) tel que \(f(x)=3\). Écris alors le nombre complexe \(z\) correspondant sous forme trigonométrique et contrôle la valeur de \(f(x)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3x^{\frac{1}{2}}\), où \(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère \((O,I,J)\).

1) Calcule \(f(4)\), \(f(9)\) et \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)\). Démontre que \(f(x)=(x-3)\sqrt{x}\) et déduis-en le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

2) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis celle de \(\dfrac{f(x)}{x}\) en \(+\infty\). Interprète graphiquement.

3) On pose \(h(x)=\sqrt{x}\) et \(g(t)=t^3-3t\). Étudie le sens de variation de \(g\) sur \([0;+\infty[\). Vérifie que \(f\) est la composée de \(h\) suivie de \(g\), puis démontre, sans dériver \(f\), que \(f\) est strictement décroissante sur \([0;1]\) et strictement croissante sur \([1;+\infty[\). Dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Détermine l'image par \(f\) de l'intervalle \([0;4]\), puis de l'intervalle \([1;+\infty[\). Donne, suivant les valeurs du réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\).

5) En posant \(t=\sqrt{x}\), résous l'équation \(f(x)=2\) ; tu pourras vérifier que \(t^3-3t-2=(t-2)(t+1)^2\). Le résultat est-il cohérent avec la question 4 ?