Isométries du plan

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les transformations \(f\), \(g\) et \(h\) d'écritures complexes respectives \(z'=iz+1+i\), \(z'=z+3-2i\) et \(z'=-z+4\).

1) Montre que \(f\) est une rotation dont on déterminera l'angle et le centre \(\Omega\).

2) Donne la nature et les éléments caractéristiques de \(g\).

3) Donne la nature et les éléments caractéristiques de \(h\).

4) Justifie que ces trois transformations sont des déplacements.

Dans un repère orthonormé direct d'origine \(O\), on note \(s_1\) la réflexion d'axe \(D_1 : y=x\) et \(s_2\) la réflexion d'axe \(D_2\), l'axe des abscisses.

1) Donne l'expression analytique de \(s_1\) et de \(s_2\).

2) Détermine l'expression analytique de \(s_2\circ s_1\).

3) Reconnais la transformation \(s_2\circ s_1\) et donne ses éléments caractéristiques.

4) Compare avec le théorème : la composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2(\vec u_1,\vec u_2)\), où \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\) dirigent \(D_1\) et \(D_2\).

Dans le plan complexe, on considère la transformation \(f\) d'écriture \(z'=i\bar z+2\). On note \(z=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) réels.

1) Justifie que \(f\) est un antidéplacement.

2) Montre que \(f\) n'a aucun point invariant.

3) Calcule l'écriture complexe de \(f\circ f\) et reconnais cette transformation.

4) Détermine l'ensemble \(\Delta\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MM'}\) soit le vecteur \(\vec u\) d'affixe \(1+i\), puis conclus sur la nature de \(f\).

Dans le plan complexe, \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(0\) et \(2\). On note \(r_1\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac\pi2\), et \(r_2\) la rotation de centre \(B\) et d'angle \(\dfrac\pi2\).

1) Donne les écritures complexes de \(r_1\) et de \(r_2\).

2) Détermine l'écriture complexe de \(r_2\circ r_1\).

3) Reconnais \(r_2\circ r_1\) et donne l'affixe de son centre \(C\).

4) Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\).

\(ABC\) est un triangle équilatéral de centre \(G\) (centre de gravité), nommé dans le sens direct. On cherche toutes les isométries \(f\) du plan qui laissent le triangle globalement invariant, c'est-à-dire telles que \(f(\{A,B,C\})=\{A,B,C\}\).

1) Justifie qu'une telle isométrie permute les sommets et laisse \(G\) invariant.

2) Détermine les déplacements qui conviennent.

3) Détermine les antidéplacements qui conviennent.

4) Combien y a-t-il de telles isométries au total ? Vérifie que la composée de deux d'entre elles en est encore une sur un exemple.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{i},\vec{j})\). On considère le point \(A(2\,;\,1)\), la rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), la translation \(t\) de vecteur \(\vec{u}(4\,;\,-2)\) et la transformation \(f=t\circ r\) : on applique d'abord \(r\), puis \(t\).

1) Soit \(M(x\,;\,y)\) un point du plan et \(M_1(x_1\,;\,y_1)\) son image par \(r\). En utilisant le fait que le vecteur \(\overrightarrow{AM_1}\) se déduit du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) par un quart de tour direct, démontre que \(x_1=3-y\) et \(y_1=x-1\). Déduis-en les coordonnées \((x'\,;\,y')\) du point \(M'=f(M)\).

2) Justifie que \(f\) est un déplacement. Démontre que \(f\) admet un unique point invariant \(\Omega\), calcule ses coordonnées et donne la nature de \(f\).

3) Calcule les coordonnées de \(A'=f(A)\). Vérifie que \(\Omega A=\Omega A'\) et que les vecteurs \(\overrightarrow{\Omega A}\) et \(\overrightarrow{\Omega A'}\) sont orthogonaux, puis précise l'angle de \(f\).

4) On note \(\Delta\) la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à la direction de \(\vec{u}\), \(\Delta'\) l'image de \(\Delta\) par la translation de vecteur \(\dfrac{1}{2}\vec{u}\), et \(D\) la droite d'équation \(x-3y+1=0\). Donne une équation de \(\Delta\) et de \(\Delta'\), vérifie que \(D\) passe par \(A\) et que l'angle orienté de droites \((D,\Delta)\) vaut \(\dfrac{\pi}{4}\). Écris alors \(r\) et \(t\) comme composées de symétries orthogonales, déduis-en que \(f=s_{\Delta'}\circ s_D\) et retrouve le point \(\Omega\).

5) Détermine l'image par \(f\) du cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O\) et de rayon 3 : donne son centre, son rayon et une équation.

\(ABCD\) est un carré de sens direct, de côté 1 et de centre \(O\). On travaille dans le repère orthonormé direct \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\). On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), \(s\) la symétrie orthogonale d'axe \((BC)\) et \(g=r\circ s\) : on applique d'abord \(s\), puis \(r\).

1) Détermine les images par \(g\) des points \(B\) et \(C\). On note \(E=g(C)\) : démontre que \(D\) est le milieu du segment \([CE]\).

2) Justifie que \(g\) est un antidéplacement. Exprime les coordonnées de \(g(M)\) en fonction de celles de \(M(x\,;\,y)\), démontre que \(g\) n'a aucun point invariant et conclus sur la nature de \(g\).

3) On rappelle que l'axe d'une symétrie glissée contient le milieu de tout segment joignant un point à son image. Détermine l'axe de \(g\), puis son vecteur.

4) On note \(\delta\) la droite passant par \(A\) et parallèle à \((BD)\). Justifie que \(r=s_\delta\circ s_{(AD)}\) et que \(s_{(AD)}\circ s\) est la translation de vecteur \(2\overrightarrow{BA}\). Déduis-en une écriture de \(g\) comme composée d'une translation suivie d'une symétrie orthogonale, et contrôle cette écriture sur le point \(C\).

5) Détermine la nature et l'élément caractéristique de \(g\circ g\). Quelle est l'aire de l'image du carré \(ABCD\) par \(g\circ g\) ? Justifie.

Deux villages sont séparés par un canal rectiligne large de 100 mètres, dont les berges sont parallèles. Dans un repère orthonormé où l'unité représente 100 mètres, le premier village est au point \(A(1\,;\,6)\), le second au point \(B(9\,;\,-1)\) ; la berge du côté de \(A\) est la droite \(d_1\) d'équation \(y=3\) et la berge du côté de \(B\) est la droite \(d_2\) d'équation \(y=2\). On veut construire un pont \([PQ]\) perpendiculaire aux berges, avec \(P\) sur \(d_1\) et \(Q\) sur \(d_2\), de façon que le trajet \(A\to P\to Q\to B\) soit le plus court possible. On note \(L=AP+PQ+QB\).

1) On note \(t\) la translation de vecteur \(\vec{u}(0\,;\,-1)\) et \(A'=t(A)\). Donne les coordonnées de \(A'\). Justifie que, quel que soit l'emplacement du pont, \(t(P)=Q\) et \(AP=A'Q\).

2) Déduis-en que \(L=A'Q+QB+1\), puis démontre que \(L\ge A'B+1\). Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

3) Calcule \(A'B\). Détermine les coordonnées du point \(Q_0\) de \(d_2\) qui rend le trajet minimal, celles du point \(P_0\) correspondant, et la longueur minimale du trajet en mètres.

4) Démontre, à l'aide de la translation \(t\) et sans calcul de coordonnées, que les droites \((AP_0)\) et \((Q_0B)\) sont parallèles. Vérifie ensuite ce résultat par un calcul.

5) Un habitant propose de construire le pont juste en face du village \(A\), c'est-à-dire avec \(P(1\,;\,3)\). Calcule la longueur du trajet correspondant, arrondie au mètre, et l'allongement par rapport au trajet minimal.

Dans un repère orthonormé direct, on donne les points \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(A'(1\,;\,5)\) et \(B'(1\,;\,1)\). On rappelle que si \(AB=A'B'\) avec \(A\ne B\), il existe un unique déplacement et un unique antidéplacement qui transforment \(A\) en \(A'\) et \(B\) en \(B'\). On note \(f\) ce déplacement et \(g\) cet antidéplacement.

1) Vérifie que \(AB=A'B'\). Justifie que \(f\) n'est pas une translation, donne sa nature et détermine son angle.

2) Détermine une équation de la médiatrice de \([AA']\) et de la médiatrice de \([BB']\), puis les coordonnées du centre \(\Omega\) de \(f\). Contrôle l'angle trouvé à la question 1 à l'aide des vecteurs \(\overrightarrow{\Omega A}\) et \(\overrightarrow{\Omega A'}\).

3) Soit \(G\) le barycentre des points pondérés \((A\,,1)\) et \((B\,,3)\). Calcule les coordonnées de \(G\), puis détermine, sans utiliser de formule pour \(f\), les coordonnées de \(G'=f(G)\). Justifie.

4) On note \((\Gamma)\) l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(MA^2+3MB^2=48\). Détermine la nature et les éléments de \((\Gamma)\), puis ceux de son image par \(f\). Démontre que cette image est l'ensemble des points \(N\) tels que \(NA'^2+3NB'^2=48\).

5) On note \(s\) la symétrie orthogonale d'axe \((AB)\). Justifie que \(g=f\circ s\). Démontre que \(g\) n'est pas une symétrie orthogonale, donne sa nature, puis détermine son axe et son vecteur.