Géométrie analytique dans l’espace

Exercice 2 — Produit scalaire et angles

On donne $\vec{u}=(2;1;-2)$ et $\vec{v}=(1;3;1)$.

1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.

2. $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$, puis angle $\theta=\arccos\!\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$.

3. Trouver $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{w}=(t;1;2)$ soit orthogonal à $\vec{u}$.

4. Dans un cube de côté 1, calculer $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BF}$ ($A$ origine, $G$ sommet opposé).

Exercice 3 — Plans dans l'espace

1. Déterminer l'équation du plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(0;2;1)$.
Méthode : trouver un vecteur normal $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, puis écrire $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$.

2. Vérifier que $D(2;-1;3)$ est dans $(\mathcal{P})$ ou non.

3. Équation du plan parallèle à $(\mathcal{P})$ passant par l'origine.

4. Position relative des deux plans : parallèles ou sécants ?

Exercice 4 — Positions relatives de droites

$(d_1)$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ (vecteur directeur $\vec{v_1}=(2;1;3)$)

$(d_2)$ : $\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\\z=4+2t\end{cases}$ (vecteur directeur $\vec{v_2}=(1;-1;2)$)

1. $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont-ils colinéaires ?

2. Chercher un point d'intersection éventuel (résoudre le système). Conclure : sécantes ou gauches ?

3. Trouver l'équation du plan contenant $(d_1)$ et parallèle à $(d_2)$.

Exercice 5 — Calculs de distances

Plan $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z-6=0$ · Droite $(d)$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ · Point $M(3;1;-1)$

1. Distance de $M$ au plan $(\mathcal{P})$ : $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{4+1+4}}$.

2. Pied de la perpendiculaire de $M$ sur $(\mathcal{P})$.

3. Distance de $M$ à la droite $(d)$.

4. Distance entre les plans parallèles $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z=6$ et $(\mathcal{P}')$ : $2x-y+2z=12$.

Exercice 7 — Produit vectoriel

$\vec{u}=(1;2;-1)$, $\vec{v}=(3;0;2)$, $A(0;1;0)$, $B(2;3;1)$, $C(1;-1;3)$, $D(4;2;2)$.

1. Calculer $\vec{u}\wedge\vec{v}$. Vérifier l'orthogonalité.  2. Aire du parallélogramme $(\vec{u},\vec{v})$.  3. Équation du plan $(ABC)$.  4. $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ?  5. Volume du tétraèdre $ABCD$.

Exercice 8 — Pyramide à base carrée

Pyramide $SABCD$ : base $ABCD$ carrée de côté $a=4$, sommet $S$ situé au-dessus du centre $O$ de la base à hauteur $h=6$. Repère : $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $S(2;2;6)$.

1. Volume $V=\frac{1}{3}\times\text{Aire base}\times h$.  2. Longueur de l'arête latérale $SA$.  3. Équation du plan $(SAB)$.  4. Section par le plan $z=3$ : nature et dimensions.  5. Apothème de la pyramide.

Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points :

$A(2;1;3)$, $B(0;3;1)$, $C(4;-1;5)$, $D(1;2;-1)$

Partie A — Étude du plan $(ABC)$

1. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.

2. Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. Vérifier que $D\notin(ABC)$. Calculer $d(D,(ABC))$.

Partie B — Droite et intersection

4. Équation de la droite $(BD)$. Trouver l'intersection de $(BD)$ avec $(ABC)$.

5. Le point $E$ est le pied de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$. Trouver les coordonnées de $E$.

Partie C — Volume

6. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les points \(A(1\,;0\,;1)\), \(B(2\,;2\,;1)\), \(C(-3\,;2\,;6)\) et \(D(4\,;0\,;7)\). On veut calculer le volume du tétraèdre \(ABCD\) en prenant le triangle \(ABC\) pour base.

1) Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), puis calcule son aire.

2) Démontre que le vecteur \(\vec{n}(2\,;-1\,;2)\) est normal au plan \((ABC)\), puis détermine une équation cartésienne de ce plan.

3) Justifie que \(D\) n'appartient pas au plan \((ABC)\). Donne une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) qui passe par \(D\) et qui est orthogonale au plan \((ABC)\), puis calcule les coordonnées du point \(H\) où \((\Delta)\) coupe ce plan.

4) Calcule la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\) de deux façons : avec la formule de la distance d'un point à un plan, puis avec les coordonnées de \(H\).

5) Calcule le volume du tétraèdre \(ABCD\). On note \(D'\) le symétrique de \(D\) par rapport au plan \((ABC)\) : détermine ses coordonnées et justifie que le tétraèdre \(ABCD'\) a le même volume que \(ABCD\).

Lors d'un spectacle lumineux, deux drones volent en ligne droite au-dessus d'une place. Dans un repère orthonormé de l'espace dont l'unité est le mètre (l'axe des cotes est vertical), leurs positions à l'instant \(t\), exprimé en secondes avec \(t\) compris entre 0 et 6, sont les points \(M(3+2t\,;4+t\,;1+2t)\) pour le premier drone et \(N(15-2t\,;-2+2t\,;1+t)\) pour le second. Le règlement impose que les deux drones restent toujours à plus de 4 mètres l'un de l'autre.

1) Justifie que chaque drone se déplace sur une droite, dont tu donneras un point et un vecteur directeur ; on note \((D_1)\) et \((D_2)\) ces droites. Démontre que les deux drones ont la même vitesse.

2) Démontre que les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont perpendiculaires et calcule les coordonnées de leur point commun \(I\).

3) Les deux drones se heurtent-ils au point \(I\) ? Justifie.

4) On pose \(f(t)=MN^2\). Démontre que \(f(t)=18t^2-108t+180\), étudie les variations de \(f\) pour \(t\) compris entre 0 et 6, puis dis si le règlement est respecté.

5) Démontre que le vecteur \(\vec{n}(1\,;2\,;-2)\) est normal au plan \((P)\) qui contient les deux trajectoires, puis donne une équation de \((P)\). Un projecteur est fixé au sommet d'un mât, au point \(S(4\,;10\,;3)\) : calcule la distance de \(S\) au plan \((P)\) et interprète ce résultat pour les deux drones.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les plans \((P)\) d'équation \(2x-y+z-5=0\) et \((Q)\) d'équation \(x+y-2z-1=0\). Pour tout réel \(m\), on note \((R_m)\) le plan d'équation \((m+6)x+y+(m-5)z-9=0\).

1) Démontre que les plans \((P)\) et \((Q)\) sont sécants. Sont-ils perpendiculaires ?

2) On note \((d)\) la droite d'intersection de \((P)\) et \((Q)\). Démontre que \((d)\) a pour représentation paramétrique \(x=t\), \(y=-11+5t\), \(z=-6+3t\), où \(t\) décrit l'ensemble des réels.

3) Détermine la valeur de \(m\) pour laquelle le plan \((R_m)\) est perpendiculaire au plan \((P)\).

4) Démontre que la droite \((d)\) est parallèle au plan \((R_m)\) uniquement lorsque \(m=1\). Dans ce cas, la droite \((d)\) est-elle incluse dans \((R_1)\) ?

5) On prend \(m=3\). Calcule les coordonnées du point \(K\) où la droite \((d)\) coupe le plan \((R_3)\), puis interprète ce point pour les trois plans \((P)\), \((Q)\) et \((R_3)\).

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points \(A(3\,;-1\,;2)\), \(B(-1\,;3\,;6)\) et \(C(2\,;1\,;1)\), ainsi que le vecteur \(\vec{w}(1\,;2\,;1)\). On note \((\Pi)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace tels que \(MA=MB\).

1) Démontre que \((\Pi)\) est le plan d'équation \(x-y-z+4=0\). Vérifie que ce plan passe par le milieu \(I\) du segment d'extrémités \(A\) et \(B\), et que \(\overrightarrow{AB}\) en est un vecteur normal.

2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(C\) et de vecteur directeur \(\vec{w}\). Démontre que \((\Delta)\) coupe \((\Pi)\) en un seul point \(E\), calcule ses coordonnées et contrôle que \(EA=EB\).

3) On note \(G\) le barycentre des points pondérés \((A\,;1)\) et \((B\,;3)\). Calcule les coordonnées de \(G\).

4) Calcule la distance du point \(G\) au plan \((\Pi)\). Quel est le projeté orthogonal de \(G\) sur \((\Pi)\) ? Justifie.

5) Détermine l'ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) de l'espace tels que \((\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{AB}=0\), donnes-en une équation et précise sa position par rapport à \((\Pi)\).