Fonctions exponentielles et fonctions puissances

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Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 4 — Étude de fonction rationnelle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Interpréter graphiquement.

3. Montrer que $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 2$. En déduire la représentation graphique de $f$.

4. Étudier les variations de $f$ sur chacun de ses intervalles de définition.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.

Exercice 5 — Étude complète — type Bac

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ et en déduire le signe de $f(x)$.

4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 4$.

5. Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]0\,;\,9]$.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Exercice 4 — Étude complète avec croissances comparées

Soit $g(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x}$ définie sur $]0\,;+\infty[$. Déterminer les limites de $g$ en $0^+$ et en $+\infty$, puis étudier les variations de $g$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Problème. Une association organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.

Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.

Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.

Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+2-\dfrac{4e^x}{e^x+1}\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine \(O\).

1) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Démontre que la droite \((D_1)\) d'équation \(y=x+2\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\) et que la droite \((D_2)\) d'équation \(y=x-2\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(+\infty\).

2) Démontre que la fonction \(f\) est impaire, puis interprète graphiquement ce résultat.

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\). Déduis-en le sens de variation de \(f\), dresse son tableau de variation et précise la tangente à \((\mathcal{C})\) au point \(O\).

4) Étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à chacune des droites \((D_1)\) et \((D_2)\). Que peux-tu en conclure pour la courbe ?

5) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui s'annule en 0, puis démontre que \(F\) est une fonction paire.

Dans un centre de santé, une infirmière donne à un patient un comprimé contre la fièvre. La concentration du médicament dans le sang du patient, en milligrammes par litre, \(t\) heures après la prise, est modélisée par la fonction \(C\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(C(t)=16\left(e^{-\frac{t}{4}}-e^{-\frac{t}{2}}\right)\). Le médicament est efficace tant que cette concentration est supérieure ou égale à 3 milligrammes par litre.

1) Calcule \(C(0)\) et la limite de \(C\) en \(+\infty\). Justifie que \(C(t)\geq 0\) pour tout \(t\geq 0\), puis interprète ces trois résultats.

2) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(C'(t)=4e^{-\frac{t}{2}}\left(2-e^{\frac{t}{4}}\right)\). Étudie les variations de \(C\), dresse son tableau de variation, puis donne la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte (valeur exacte, puis arrondie à la minute).

3) Résous dans \([0;+\infty[\) l'équation \(C(t)=3\), en posant \(X=e^{-\frac{t}{4}}\).

4) Déduis-en l'intervalle de temps pendant lequel le médicament est efficace. Démontre que la durée d'efficacité est exactement \(4\ln{3}\) heures et donne-la à la minute près.

5) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(C(t)\leq 16e^{-\frac{t}{4}}\). Déduis-en que, plus de 14 heures après la prise, la concentration est inférieure à \(0{,}5\) milligramme par litre.

On rappelle que, pour tout réel \(x\gt 0\) et tout réel \(\alpha\), \(x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}\). Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(0)=0\) et, pour \(x\gt 0\), \(f(x)=3x^{\frac{2}{3}}-2x\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative.

1) Démontre que \(f\) est continue en 0. Étudie ensuite la dérivabilité de \(f\) en 0 et interprète graphiquement le résultat.

2) Calcule \(f'(x)\) pour \(x\gt 0\) et étudie son signe. Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variation de \(f\).

3) Résous dans \(]0;+\infty[\) l'équation \(f(x)=0\), puis donne le signe de \(f(x)\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\geq 0\), \(x^{\frac{2}{3}}\leq\dfrac{2x+1}{3}\), et précise le cas d'égalité. Déduis-en, sans calculatrice, que \(\sqrt[3]{4}\lt\dfrac{5}{3}\), puis contrôle ce résultat par un calcul direct.

5) Détermine la primitive \(G\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) qui s'annule en 1. Calcule \(G(8)\), puis donne le sens de variation de \(G\) et son maximum.

Une coopérative agricole achète un tracteur neuf. Sa valeur de revente, en millions de francs, \(t\) années après l'achat, est modélisée par \(V(t)=V_0\times a^{t}\), où \(V_0\) et \(a\) sont deux réels strictement positifs, avec \(a\neq 1\), et \(t\geq 0\). Un expert estime cette valeur à \(8{,}1\) millions de francs au bout de 2 ans et à \(6{,}561\) millions de francs au bout de 4 ans.

1) Écris le système vérifié par \(V_0\) et \(a\), puis résous-le.

2) Écris \(V(t)\) sous la forme \(V_0e^{kt}\), où \(k\) est un réel que tu préciseras. Calcule \(V'(t)\), déduis-en le sens de variation de \(V\), calcule sa limite en \(+\infty\) et interprète.

3) Démontre que, quelle que soit la date \(t\), le tracteur perd 10 % de sa valeur pendant l'année qui suit.

4) Au bout de combien de temps le tracteur a-t-il perdu la moitié de sa valeur d'achat ? Donne la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, et contrôle avec \(V(6)\) et \(V(7)\).

5) Le jour de l'achat, la coopérative place 2 millions de francs sur un compte dont le solde, en millions de francs, après \(t\) années est \(S(t)=2\times 1{,}05^{t}\). Résous l'inéquation \(S(t)\geq V(t)\) et interprète le résultat.