Équations différentielles

Exercice 1 — Équation du premier ordre

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+3y=0$ avec $y(0)=2$.

Exercice 2 — Second ordre, $\Delta>0$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$.

Exercice 4 — Équation caractéristique

1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$)  2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$)  3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)

Exercice 3 — Forme amplitude-phase

Résoudre $y''+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$, puis écrire la solution sous forme amplitude-phase.

Exercice 6 — Cauchy et circuit RC

A. $\begin{cases}y'-y=e^x\\y(0)=1\end{cases}$ — chercher $y_p=axe^x$

B. $RC\,u'+u=12$, $R=1000\,\Omega$, $C=10^{-3}\,\text{F}$, $u(0)=0$. Résoudre, calculer $u(1)$, quand $u>11$ V ?

Exercice 4 — Équation avec second membre

Résoudre $y'-3y=e^{2x}$ avec $y(0)=4$.

Exercice 5 — Racine double

Résoudre $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$.

Exercice 6 — Oscillateur harmonique

Un système masse-ressort sans frottement obéit à $x''+9x=0$, avec $x(0)=2$ et $x'(0)=0$. Déterminer $x(t)$, son amplitude et sa période.

Une pirogue à moteur, immobile à l'instant \(t=0\), démarre sur un fleuve calme. On note \(v(t)\) sa vitesse, en mètres par seconde, à l'instant \(t\), exprimé en secondes. Le moteur exerce une poussée constante et l'eau freine la pirogue d'autant plus que celle-ci va vite. On admet que la fonction \(v\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) et qu'elle y vérifie l'équation différentielle \((E)\) : \(v'+\dfrac{1}{4}v=2\).

1) Détermine la fonction constante qui est solution de \((E)\). Que représente sa valeur pour la pirogue ?

2) Résous l'équation \((E)\), puis démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(v(t)=8\left(1-e^{-\frac{t}{4}}\right)\).

3) Étudie le sens de variation de \(v\) sur \([0;+\infty[\) et détermine sa limite en \(+\infty\). Interprète ces deux résultats.

4) À quel instant \(t_1\) la vitesse atteint-elle 6 mètres par seconde ? Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième de seconde.

5) La distance parcourue par la pirogue entre les instants 0 et \(T\), en mètres, est \(d(T)=\displaystyle\int_0^{T}v(t)\,dt\). Démontre que \(d(T)=8T-32\left(1-e^{-\frac{T}{4}}\right)\), puis calcule \(d(t_1)\) : valeur exacte, puis arrondi au dixième de mètre.

6) Une seconde pirogue passe à côté de la première à l'instant 0 et avance dans la même direction à la vitesse constante de 8 mètres par seconde. Exprime en fonction de \(T\) la distance qui sépare les deux pirogues à l'instant \(T\), puis détermine la limite de cette distance quand \(T\) tend vers \(+\infty\). Interprète.

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y''-y=0\), où \(y\) est une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1) Donne les solutions de \((E)\), puis vérifie par le calcul que les fonctions obtenues sont bien des solutions.

2) On note \(f\) la solution de \((E)\) telle que \(f(0)=5\) et \(f'(0)=-3\). Démontre que \(f(x)=e^{x}+4e^{-x}\).

3) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), étudie son sens de variation et démontre que \(f\) admet un minimum, dont tu donneras la valeur.

4) On pose \(g(x)=\left(f'(x)\right)^2-\left(f(x)\right)^2\). Démontre, en utilisant seulement l'équation \((E)\), que la fonction \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}\), puis calcule sa valeur. Retrouve ainsi le minimum de \(f\).

5) Justifie que \(f'\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en la valeur de \(\displaystyle\int_0^{\ln 2}f(x)\,dx\) et interprète ce nombre comme une aire.

Un enfant se balance sur une balançoire accrochée à une branche de manguier. On repère le siège par son abscisse \(x(t)\), en décimètres, mesurée horizontalement à partir de sa position de repos, à l'instant \(t\) exprimé en secondes. Tant que les oscillations restent petites et que l'on néglige les frottements, la fonction \(x\) vérifie sur \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \((E)\) : \(x''+\omega^2x=0\), où \(\omega\) est un réel strictement positif. On observe que la balançoire effectue une oscillation complète en 4 secondes.

1) Donne les solutions de \((E)\). Justifie que chacune d'elles est périodique de période \(\dfrac{2\pi}{\omega}\), puis déduis-en la valeur de \(\omega\).

2) À l'instant 0, on a \(x(0)=3\sqrt{3}\) et la vitesse du siège est \(x'(0)=\dfrac{3\pi}{2}\). Détermine l'expression de \(x(t)\).

3) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(x(t)=6\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t-\dfrac{\pi}{6}\right)\). Quel est l'écart maximal du siège par rapport à sa position de repos, et à quel instant est-il atteint pour la première fois après l'instant 0 ?

4) Résous dans l'intervalle \([0;4]\) l'équation \(x(t)=3\). Pendant quelle durée, au cours de ces 4 secondes, l'abscisse du siège est-elle strictement supérieure à 3 décimètres ?

5) Exprime la vitesse \(x'(t)\) à l'aide d'un sinus. Quelle est la plus grande valeur de la vitesse, en valeur absolue, arrondie au centième ? Démontre qu'elle est atteinte exactement quand le siège passe par sa position de repos, précise le premier de ces instants et interprète.

On considère les équations différentielles \((E)\) : \(y'-2y=-4x\) et \((E_0)\) : \(y'-2y=0\), où \(y\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1) Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(g\) définie par \(g(x)=ax+b\) soit solution de \((E)\).

2) Démontre qu'une fonction \(h\), dérivable sur \(\mathbb{R}\), est solution de \((E)\) si et seulement si la fonction \(h-g\) est solution de \((E_0)\).

3) Résous \((E_0)\), déduis-en les solutions de \((E)\), puis détermine la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=0\).

4) Étudie le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en que, pour tout réel \(x\), \(e^{2x}\geq 2x+1\), et interprète cette inégalité pour la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction \(x\mapsto e^{2x}\) et sa tangente au point d'abscisse 0.

5) Calcule l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}\), la droite d'équation \(y=2x+1\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\). Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au centième.