Divisibilité dans ℤ

Exercice 1 — Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de $-52$ par $7$.

Exercice 2 — Reste d'une puissance

Déterminer le reste de la division de $2^{20}$ par $7$.

Exercice 6 — Divisibilité par congruence

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.

Une coopérative agricole identifie chaque sac de cacao par un numéro \(N\) de cinq chiffres, qui s'écrit \(N=10^4a+10^3b+10^2c+10d+e\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) sont ses chiffres et \(a\) n'est pas nul. À la suite du numéro, l'imprimante ajoute une clé de contrôle \(K\) : le reste de la division euclidienne de \(N\) par 11. À la réception, un agent saisit le numéro et l'ordinateur recalcule la clé.

1) Justifie que \(10\equiv -1\ [11]\), puis déduis-en à quoi sont congrus \(10^2\), \(10^3\) et \(10^4\) modulo 11.

2) Démontre que \(N\equiv S\ [11]\), où \(S=a-b+c-d+e\).

3) Calcule la clé des sacs numérotés \(47\,258\), \(60\,917\) et \(19\,080\).

4) L'agent se trompe sur un seul chiffre : il tape un chiffre \(x'\) à la place du chiffre \(x\), avec \(x'\) différent de \(x\). Démontre que la clé du numéro saisi n'est pas celle du vrai numéro.

5) Cette fois, l'agent échange deux chiffres voisins \(x\) et \(y\), différents l'un de l'autre. Démontre que la clé change encore, puis interprète ces deux résultats : à quoi sert la clé ?

On considère l'entier naturel \(n=3\,276\). L'objectif est de trouver tous les couples \((x\,;y)\) d'entiers naturels tels que \(x^2-y^2=3\,276\).

1) À l'aide des caractères de divisibilité, dis si \(n\) est divisible par 9, par 11 et par 5. Justifie chaque réponse.

2) Décompose \(n\) en produit de facteurs premiers.

3) Combien \(n\) possède-t-il de diviseurs positifs ? Justifie ta réponse à partir de la décomposition.

4) Détermine le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(k\times n\) soit le carré d'un entier, et précise cet entier.

5) Soit \((x\,;y)\) un couple d'entiers naturels tel que \(x^2-y^2=3\,276\). Démontre que \(x-y\) et \(x+y\) sont deux entiers pairs. On pose alors \(x-y=2u\) et \(x+y=2v\) : quelle relation lie \(u\) et \(v\) ? Déduis-en tous les couples solutions.

On veut savoir s'il existe des entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(x^2+y^2=2\,023\). On note \((E)\) cette équation. Tu vas y répondre sans essayer les valeurs une à une, grâce aux congruences modulo 7.

1) Par disjonction des cas, dresse le tableau des restes de \(n^2\) dans la division euclidienne par 7, selon le reste de l'entier \(n\).

2) Déduis-en qu'il n'existe aucun entier \(n\) tel que \(n^2+4\) soit divisible par 7.

3) Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs tels que 7 divise \(a^2+b^2\). Démontre que 7 divise \(a\) et que 7 divise \(b\).

4) Déduis-en que, sous la même hypothèse, 49 divise \(a^2+b^2\).

5) Décompose \(2\,023\) en produit de facteurs premiers, puis conclus : l'équation \((E)\) a-t-elle des solutions ?

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=4u_n-6\). Tous ses termes sont des entiers naturels. On étudie leurs propriétés de divisibilité.

1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

2) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=4^n+2\).

3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n\) est divisible par 6. Quels sont les termes de la suite qui sont des nombres premiers ?

4) Détermine, selon la parité de \(n\), le reste de la division euclidienne de \(u_n\) par 5. Un terme de la suite peut-il être divisible par 5 ?

5) Écris \(u_3\) en base 4, puis en base 2. Pour \(n\) non nul, décris l'écriture de \(u_n\) en base 4 et justifie-la.