Dérivabilité et étude de fonctions

Exercice 2 — Calcul de dérivées usuelles

Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$

2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 3 — Sens de variation et tableau de variations

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$.

Exercice 4 — Étude de fonction rationnelle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Interpréter graphiquement.

3. Montrer que $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 2$. En déduire la représentation graphique de $f$.

4. Étudier les variations de $f$ sur chacun de ses intervalles de définition.

Exercice 3 — Dérivabilité à gauche et à droite

Soit $f(x) = |x-1|(x+2)$. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$.

Exercice 5 — Étude complète — type Bac

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ et en déduire le signe de $f(x)$.

4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 4$.

5. Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]0\,;\,9]$.

Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis

En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.

Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF

Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty;1]\) par \(f(x)=|x+1|\sqrt{1-x}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que \(f\) est continue sur \(]-\infty;1]\) et dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;1[\).

1) Écris \(f(x)\) sans valeur absolue, suivant les valeurs de \(x\). Détermine la limite de \(f\) en \(-\infty\).

2) Étudie la dérivabilité de \(f\) à gauche et à droite en \(-1\). La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(-1\) ? Interprète graphiquement en donnant une équation de chaque demi-tangente.

3) Étudie la dérivabilité de \(f\) à gauche en 1 et interprète graphiquement le résultat.

4) Démontre que \(f'(x)=\dfrac{1-3x}{2\sqrt{1-x}}\) pour \(x\) dans \(]-1;1[\), et calcule \(f'(x)\) pour \(x\) dans \(]-\infty;-1[\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).

5) Précise les extremums de \(f\). Démontre que \(\dfrac{4\sqrt{6}}{9}\gt 1\), puis que l'équation \(f(x)=1\) admet exactement trois solutions.

6) Justifie que, sur \(]-\infty;1]\), l'équation \(f(x)=1\) équivaut à \(x(x^2+x-1)=0\). Calcule les trois solutions et situe chacune dans le tableau de variation.

Soit \(g\) la fonction définie sur \([1;2]\) par \(g(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\). On admet que \(g\) est dérivable sur \([1;2]\). Le but de l'exercice est d'obtenir, sans calculatrice, des fractions très proches de \(\sqrt{2}\).

1) Calcule \(g'(x)\), donne le sens de variation de \(g\) sur \([1;2]\) et détermine l'image de l'intervalle \([1;2]\) par \(g\). Justifie que, pour tout \(x\) de \([1;2]\), \(g(x)\) appartient à \([1;2]\).

2) Résous dans \([1;2]\) l'équation \(g(x)=x\).

3) Démontre que \(|g'(x)|\leq\dfrac{1}{4}\) pour tout \(x\) de \([1;2]\). Déduis-en, à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, que \(\left|g(x)-\sqrt{2}\right|\leq\dfrac{1}{4}\left|x-\sqrt{2}\right|\) pour tout \(x\) de \([1;2]\).

4) On pose \(a=1\), \(b=g(a)\), \(c=g(b)\) et \(d=g(c)\). Calcule \(b\), \(c\) et \(d\) sous forme de fractions. Démontre que \(\left|d-\sqrt{2}\right|\leq\dfrac{1}{64}\left|1-\sqrt{2}\right|\), puis que \(\left|d-\sqrt{2}\right|\lt\dfrac{1}{128}\).

5) En utilisant le sens de variation de \(g\), démontre que \(c\lt\sqrt{2}\lt d\). Quelle est l'amplitude de cet encadrement de \(\sqrt{2}\) ? Compare avec le résultat de la question 4.

Un artisan fabrique une gouttière avec une tôle de 30 centimètres de large, qu'il plie dans le sens de la longueur en trois bandes de 10 centimètres. La bande du milieu reste horizontale ; les deux autres sont relevées et font le même angle \(\theta\), en radians, avec l'horizontale, où \(\theta\) appartient à \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). La section de la gouttière est alors un trapèze isocèle dont la petite base mesure 10 centimètres et dont les deux côtés obliques mesurent 10 centimètres. Plus l'aire \(A(\theta)\) de cette section, en centimètres carrés, est grande, plus la gouttière évacue d'eau.

1) Exprime la hauteur et la grande base du trapèze en fonction de \(\theta\), puis démontre que \(A(\theta)=100\sin\theta\,(1+\cos\theta)\).

2) On admet que \(A\) est deux fois dérivable sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Démontre que \(A'(\theta)=100(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)\).

3) Étudie le signe de \(A'(\theta)\) et dresse le tableau de variation de \(A\). Quel angle l'artisan doit-il choisir, et quelle est alors l'aire de la section ? Tu prendras \(\sqrt{3}\approx 1{,}732\).

4) Calcule la dérivée seconde \(A''(\theta)\) et étudie son signe. La courbe de \(A\) possède-t-elle un point d'inflexion d'abscisse comprise strictement entre 0 et \(\dfrac{\pi}{2}\) ? Que peux-tu dire du sens de variation de \(A'\) ?

5) Un pliage à angle droit correspond à \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). Démontre qu'il existe un unique angle \(\beta\) de \(\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\) qui donne la même aire que ce pliage ; on donne \(A(0{,}57)\approx 99{,}4\) et \(A(0{,}58)\approx 100{,}6\). Déduis-en l'ensemble des angles pour lesquels la gouttière fait au moins aussi bien que le pliage à angle droit, et interprète.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sqrt{x^2+1}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,I,J)\). On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1) Étudie la parité de \(f\). Détermine les limites de \(f(x)\) et de \(\dfrac{f(x)}{x}\) en \(+\infty\), puis interprète graphiquement.

2) Démontre que \(f'(x)=\dfrac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\). Déduis-en que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{-1}\) sa bijection réciproque et \((C')\) la courbe de \(f^{-1}\).

3) Démontre que \(f''(x)=\dfrac{x(2x^2+3)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\). Justifie que \(O\) est un point d'inflexion de \((C)\), donne une équation de la tangente \((T_0)\) à \((C)\) en \(O\) et étudie la position de \((C)\) par rapport à \((T_0)\).

4) Calcule \(f\left(\dfrac{3}{4}\right)\) et \(f'\left(\dfrac{3}{4}\right)\). Déduis-en le nombre dérivé de \(f^{-1}\) en \(\dfrac{15}{16}\). Quel est le sens de variation de \(f^{-1}\) ?

5) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\) d'abscisse \(\dfrac{3}{4}\), puis une équation de la tangente \((T')\) à \((C')\) au point \(A'\) d'abscisse \(\dfrac{15}{16}\). Vérifie que \((T')\) est l'image de \((T)\) par la symétrie d'axe la droite d'équation \(y=x\), et explique pourquoi c'était prévisible.