Calcul intégral

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Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.

Exercice 2 — Intégrale de $1/x$

Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

Exercice 3 — Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$.

Exercice 4 — Double intégration par parties

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.

Exercice 5 — Aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=4-x^2$ et $y=x^2$.

Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^{2}}\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). On note \((C)\) la courbe représentative de \(f\) et \((H)\) celle de \(g\) dans un repère orthogonal : l'unité graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées.

1) Étudie les variations de la fonction \(h\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(h(x)=\ln x-x+1\), puis déduis-en que \(h(x)\leq 0\) pour tout réel \(x\gt 0\).

2) Vérifie que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(f(x)-g(x)=\dfrac{h(x)}{x^{2}}\). Déduis-en la position de \((C)\) par rapport à \((H)\) et précise leur point commun.

3) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout réel \(\lambda\geq 1\), \(\displaystyle\int_{1}^{\lambda}f(x)\,dx=2-\dfrac{2+\ln\lambda}{\lambda}\).

4) Calcule l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine délimité par \((C)\), \((H)\) et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=e\) : valeur exacte en unités d'aire, puis valeur en cm² arrondie au centième. Justifie d'abord que cette aire est donnée par une intégrale.

5) Pour tout réel \(\lambda\gt 1\), on note \(\mathcal{A}(\lambda)\) l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par \((C)\), \((H)\) et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=\lambda\). Exprime \(\mathcal{A}(\lambda)\) en fonction de \(\lambda\), détermine sa limite quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\) et interprète ce résultat.

Une source alimente le réservoir d'un village. Après un orage, son débit, en mètres cubes par heure, est modélisé pendant les 8 heures qui suivent par \(q(t)=20+8t\,e^{-t/4}\), où \(t\) est le temps, en heures, écoulé depuis la fin de l'orage, pour \(t\) dans \([0;8]\). Le volume d'eau fourni par la source entre deux instants \(a\) et \(b\), avec \(a\leq b\), est égal à \(\displaystyle\int_{a}^{b}q(t)\,dt\), en mètres cubes.

1) Calcule \(q'(t)\) et étudie les variations de \(q\) sur \([0;8]\). Donne le débit maximal (valeur exacte, puis valeur arrondie au dixième) et l'instant où il est atteint, ainsi que le débit minimal sur \([0;8]\).

2) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout réel \(x\) de \([0;8]\), \(\displaystyle\int_{0}^{x}t\,e^{-t/4}\,dt=16-4(x+4)e^{-x/4}\).

3) Calcule le volume \(V\) fourni par la source pendant les 8 heures (valeur exacte, puis valeur arrondie au mètre cube). Calcule ensuite la valeur moyenne \(\mu\) de \(q\) sur \([0;8]\) et interprète-la.

4) À l'aide de la question 1 et de l'inégalité de la moyenne, donne un encadrement de \(V\), puis vérifie que la valeur trouvée à la question 3 le respecte.

5) Calcule le volume \(V_1\) fourni pendant les quatre premières heures, puis déduis-en, à l'aide de la relation de Chasles, le volume \(V_2\) fourni pendant les quatre dernières heures (valeurs exactes, puis arrondies au dixième). Le débit est maximal au milieu de la période : les deux volumes sont-ils égaux pour autant ? Explique.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\). On pose \(I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{x^{2}}{1+e^{x}}\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{x^{2}e^{x}}{1+e^{x}}\,dx\). On ne connaît pas de primitive des deux fonctions qui figurent dans \(I\) et \(J\).

1) Démontre que \(f\) est impaire. Déduis-en, sans chercher de primitive, la valeur de \(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx\).

2) Vérifie que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{2e^{x}}{e^{x}+1}-1\). Calcule alors \(K=\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx\) (valeur exacte, puis valeur arrondie au centième) et déduis-en \(\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx\).

3) Démontre que \(f\) est croissante sur \([0;2]\). Déduis-en, par l'inégalité de la moyenne, un encadrement de \(K\) et vérifie que la valeur trouvée le respecte.

4) Calcule \(I+J\).

5) On note \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(t)=\dfrac{t^{2}}{1+e^{t}}\). Vérifie que \(\varphi(-x)=\dfrac{x^{2}e^{x}}{1+e^{x}}\) pour tout réel \(x\), puis démontre, à l'aide du changement de variable affine \(t=-x\), que \(J=I\). Déduis-en la valeur de \(I\).

6) Déduis des questions précédentes la valeur de \(\displaystyle\int_{-2}^{2}x^{2}f(x)\,dx\), puis explique comment la parité permettait de prévoir ce résultat.

On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\). On ne cherche pas à exprimer \(F(x)\) à l'aide des fonctions usuelles. On note \(f\) la fonction \(t\mapsto e^{-t^{2}/2}\) et \((\Gamma)\) la courbe représentative de \(F\) dans un repère orthonormé.

1) Justifie que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et donne \(F'(x)\). Déduis-en le sens de variation de \(F\), puis le signe de \(F(x)\) selon les valeurs de \(x\).

2) Vérifie que \(f\) est paire. À l'aide du changement de variable affine \(t=-s\), démontre que \(F(-x)=-F(x)\) pour tout réel \(x\). Interprète graphiquement ce résultat.

3) En étudiant la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(u)=e^{u}-1-u\), démontre que \(e^{u}\geq 1+u\) pour tout réel \(u\). Déduis-en que \(1-\dfrac{t^{2}}{2}\leq e^{-t^{2}/2}\leq 1\) pour tout \(t\) de \([0;1]\), puis que \(\dfrac{5}{6}\leq F(1)\leq 1\).

4) Démontre que \(e^{-t^{2}/2}\leq e^{-t}\) pour tout réel \(t\geq 2\). Déduis-en que, pour tout réel \(x\geq 2\), \(F(x)\leq F(2)+e^{-2}-e^{-x}\), puis que \(F(x)\lt 2+e^{-2}\) pour tout réel \(x\).

5) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((\Gamma)\) au point d'abscisse 0, étudie la position de \((\Gamma)\) par rapport à \((T)\) pour \(x\geq 0\), puis décris l'allure de \((\Gamma)\).