Barycentre et lignes de niveaux

Exercice 1 — Réduction vectorielle

Soit $A$ et $B$ deux points, $G$ le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

Exercice 2 — Coordonnées d'un barycentre

Soit $A(1\,;2)$, $B(5\,;-2)$, $C(-2\,;4)$ affectés des coefficients $1$, $2$, $1$. Calculer les coordonnées du barycentre $G$.

Exercice 3 — Théorème de la médiane

Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=6$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=50$.

Exercice 4 — Ligne de niveau pondérée

Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=4$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2+MB^2=24$, en utilisant le barycentre $G$ de $(A,2)$ et $(B,1)$.

Dans le plan, \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=6\) et \(AC=4\) (unité : le centimètre). On note \(G\) le barycentre des points pondérés \((A\,;1)\), \((B\,;2)\) et \((C\,;3)\). On note aussi \(I\) le barycentre de \((B\,;2)\) et \((C\,;3)\), \(J\) le barycentre de \((A\,;1)\) et \((C\,;3)\), \(K\) le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;2)\).

1) Justifie l'existence du point \(G\). Exprime \(\overrightarrow{BI}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\), puis démontre que les points \(A\), \(G\) et \(I\) sont alignés en exprimant \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AI}\).

2) Démontre que les droites \((AI)\), \((BJ)\) et \((CK)\) sont concourantes en \(G\). Précise la position de \(G\) sur le segment \([CK]\).

3) On munit le plan du repère orthonormé \((A\,;\vec{i},\vec{j})\) tel que \(\overrightarrow{AB}=6\vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC}=4\vec{j}\). Calcule les coordonnées de \(G\), puis \(GA^2\), \(GB^2\) et \(GC^2\).

4) Détermine l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right\|\). Justifie que \(A\) et \(C\) appartiennent à \((E)\).

5) Pour tout point \(M\) du plan, on pose \(f(M)=MA^2+2MB^2+3MC^2\). Démontre que \(f(M)=6MG^2+72\), détermine la ligne de niveau 96 de \(f\), puis démontre que cette ligne est tangente aux droites \((AB)\) et \((AC)\).

Sur un terrain plat, deux mâts sont plantés en \(A\) et en \(B\), à 600 mètres l'un de l'autre. On prend 100 mètres pour unité de longueur, de sorte que \(AB=6\). Un photographe cherche les endroits \(M\) du terrain d'où il se trouve exactement deux fois plus loin du mât \(A\) que du mât \(B\), c'est-à-dire tels que \(MA=2MB\). On note \((\Gamma)\) l'ensemble de ces points.

1) On note \(I\) le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;2)\), et \(J\) le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;-2)\). Justifie l'existence de ces deux points, exprime \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis vérifie que \(I\) et \(J\) appartiennent à \((\Gamma)\).

2) Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(MA^2-4MB^2=-3\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}\). Déduis-en la nature de \((\Gamma)\), son centre \(\Omega\) et son rayon.

3) Vérifie que \(\Omega\) est le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;-4)\). Démontre alors que \(MA^2-4MB^2=-3M\Omega^2+48\) et retrouve le résultat de la question précédente.

4) Le photographe veut de plus voir le segment \([AB]\) sous un angle droit. Sur quelle ligne doit-il se placer ? Démontre qu'en un tel point de \((\Gamma)\) on a \(MB=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\) et calcule \(MA\). Donne ces deux distances en mètres, arrondies au mètre.

5) On munit le plan du repère orthonormé \((A\,;\vec{i},\vec{j})\) tel que \(\overrightarrow{AB}=6\vec{i}\). Détermine les coordonnées des positions possibles du photographe. Combien y en a-t-il, et à quelle distance de la droite \((AB)\) se trouvent-elles ?

Un menuisier découpe une plaque homogène en forme de L. Dans un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j})\) d'unité le centimètre, les sommets de la plaque sont, dans l'ordre, \(O(0\,;\,0)\), \(P(12\,;\,0)\), \(Q(12\,;\,4)\), \(R(8\,;\,4)\), \(E(8\,;\,8)\) et \(F(0\,;\,8)\). La plaque pèse 1 gramme par centimètre carré. On admet que le centre de gravité d'une plaque rectangulaire homogène est le centre du rectangle, et que le centre de gravité d'un assemblage est le barycentre des centres de gravité des morceaux, affectés de leurs masses.

1) On partage la plaque en deux rectangles : le rectangle de sommets \(O\), \(P\), \(Q\) et le point de coordonnées \((0\,;\,4)\), de centre \(G_1\), et le rectangle restant, de centre \(G_2\). Justifie que le centre de gravité \(G\) de la plaque est le barycentre de \((G_1\,;3)\) et \((G_2\,;2)\), puis calcule ses coordonnées.

2) On voit maintenant la plaque comme le rectangle plein de sommets \(O\), \(P\), \(F\) et le point de coordonnées \((12\,;\,8)\), de centre \(\Omega_1\), dont on a retiré un carré de côté 4, de centre \(\Omega_2\). Justifie que \(\Omega_1\) est le barycentre de \((G\,;80)\) et \((\Omega_2\,;16)\), déduis-en que \(G\) est le barycentre de \((\Omega_1\,;6)\) et \((\Omega_2\,;-1)\), puis retrouve les coordonnées de \(G\).

3) Déduis de la question 2 que les points \(\Omega_1\), \(\Omega_2\) et \(G\) sont alignés et exprime \(\overrightarrow{\Omega_1G}\) en fonction de \(\overrightarrow{\Omega_1\Omega_2}\). Le point \(G\) est-il situé sur la plaque ? Justifie.

4) Le menuisier fixe au sommet \(F\) une pièce métallique, assimilée à un point de masse \(m\) grammes. On note \(G'\) le centre de gravité de l'ensemble. Exprime les coordonnées de \(G'\) en fonction de \(m\), puis détermine \(m\) pour que \(G'\) soit sur la droite \((OE)\).

5) Pour cette valeur de \(m\), exprime \(\overrightarrow{OG'}\) en fonction de \(\overrightarrow{OE}\), puis écris \(G'\) comme barycentre des points \(O\) et \(E\) affectés de coefficients entiers. Interprète la position de \(G'\) sur le segment \([OE]\).

\(ABC\) est un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AB=AC=5\) et \(BC=6\). On note \(I\) le milieu de \([BC]\). On définit une suite de points \((M_n)\) par \(M_0=A\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(M_{n+1}\) est le barycentre des points pondérés \((M_n\,;1)\), \((B\,;1)\) et \((C\,;1)\).

1) Calcule \(AI\). Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(\overrightarrow{IM_{n+1}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IM_n}\). Déduis-en que \(M_n\) appartient au segment \([AI]\) et exprime la distance \(IM_n\) en fonction de \(n\).

2) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(M_n\) est le barycentre de \((A\,;2)\), \((B\,;3^n-1)\) et \((C\,;3^n-1)\). Que peux-tu en déduire sur la position de \(M_n\) par rapport au triangle \(ABC\) ?

3) Détermine, à l'aide du logarithme népérien, le plus petit entier \(n\) tel que \(IM_n\lt 0{,}01\).

4) On pose \(L_n=M_0M_1+M_1M_2+\cdots+M_{n-1}M_n\) pour \(n\ge 1\). Exprime \(L_n\) en fonction de \(n\), calcule sa limite et interprète le résultat.

5) Pour tout point \(M\) du plan, on pose \(g(M)=2MA^2-MB^2-MC^2\). Démontre que \(g(M)=14-4\,\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{IA}\). Détermine la ligne de niveau \(-18\) de \(g\) et justifie qu'elle passe par les milieux des côtés \([AB]\) et \([AC]\).