Systèmes d’équations linéaires dans ℝ² et dans ℝ³

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$   b) $12$   c) $-12$   d) $24$

2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) exactement deux solutions

3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;2)$   c) $(2;-3)$   d) $(-2;3)$

4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$   b) un cercle   c) deux droites parallèles   d) une parabole

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un éleveur de la province du Sanmatenga possède un troupeau de bovins et de caprins, soit $60$ têtes de bétail au total. Il fait vacciner chaque animal : $8\,000$ FCFA par bovin et $3\,000$ FCFA par caprin. La facture totale du vétérinaire s'élève à $290\,000$ FCFA.

L'éleveur veut connaître la composition exacte de son troupeau pour vérifier que la facture correspond bien à ce qu'il possède réellement, avant de payer.

Consigne : En notant $b$ le nombre de bovins et $c$ le nombre de caprins, mettre la situation en système de deux équations, le résoudre, puis dire à l'éleveur si la facture du vétérinaire est cohérente avec un troupeau de $60$ têtes.

Exercice supplémentaire. Une coopérative de Diapaga achète des kits scolaires : $\begin{cases}4x+3y=1\,900\\2x+y=800\end{cases}$ modélise le prix $x$ d'un cahier et $y$ d'un stylo (en FCFA).

1) Calculer le déterminant de ce système.
2) Résoudre le système.
3) Le système $\begin{cases}2x+3y=100\\4x+6y=250\end{cases}$ a-t-il une solution unique ? Justifier par son déterminant.

La cantine d'un lycée compose un repas à partir de trois aliments : de la bouillie de mil, des haricots et du poisson séché. Le tableau donne les apports, en grammes, d'une portion de chaque aliment.

Le repas doit apporter exactement 48 g de protéines, 14 g de lipides et 104 g de glucides. On note \(x\), \(y\) et \(z\) les nombres de portions de bouillie de mil, de haricots et de poisson séché.

1) Traduis les trois objectifs par un système \((S)\) de trois équations d'inconnues \(x\), \(y\) et \(z\). Tu simplifieras l'équation des protéines en divisant ses deux membres par 4 et celle des glucides en divisant ses deux membres par 8.

2) Résous \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss.

3) Vérifie le triplet trouvé à l'aide du tableau. Sachant qu'un gramme de protéines ou de glucides apporte 4 kilocalories et qu'un gramme de lipides en apporte 9, calcule l'énergie apportée par ce repas.

4) Un jour, le poisson manque. Démontre qu'il est alors impossible d'atteindre les trois objectifs avec seulement de la bouillie de mil et des haricots, même en acceptant des fractions de portion.

5) On renonce à l'objectif sur les glucides, mais on exige des nombres entiers de portions. En utilisant une équation obtenue à la question 2, démontre que le système formé des deux premières équations de \((S)\) n'a qu'un seul triplet d'entiers naturels solution. Interprète ce résultat.

Pour tout nombre réel \(m\), on considère le système d'inconnues réelles \(x\) et \(y\) : \[(S_m)\ \begin{cases}mx+2y=2m\\ 3x+(m-1)y=m+3\end{cases}\] Dans un repère, on note \((D_m)\) et \((D'_m)\) les droites dont les équations sont la première et la seconde équation de \((S_m)\).

1) Calcule le déterminant de \((S_m)\) en fonction de \(m\), puis détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles il est nul. Que peux-tu affirmer pour toutes les autres valeurs de \(m\) ?

2) Résous par substitution le système obtenu pour \(m=-1\).

3) On suppose que \(m=3\). Résous le système et interprète graphiquement le résultat.

4) On suppose que \(m=-2\). Démontre que le système n'a aucune solution et interprète graphiquement ce résultat.

5) On suppose que \(m\) est différent de \(3\) et de \(-2\). Exprime en fonction de \(m\) l'unique solution \((x\,;y)\) du système, puis retrouve le résultat de la question 2.

6) Démontre que, pour tout \(m\) différent de \(3\) et de \(-2\), la solution vérifie \(x-y=1\). Déduis-en la valeur de \(m\) pour laquelle la solution vérifie \(x^2+y^2=5\), et donne cette solution.

Un technicien de laboratoire dispose de trois solutions d'eau salée : la solution A contient 10 g de sel par litre, la solution B en contient 30 g par litre et la solution C en contient 50 g par litre. Il veut obtenir exactement 10 litres d'une solution contenant 28 g de sel par litre, en mélangeant \(x\) litres de A, \(y\) litres de B et \(z\) litres de C. La masse de sel du mélange est la somme des masses de sel versées.

1) Justifie que \(x\), \(y\) et \(z\) vérifient les équations \(x+y+z=10\) et \(x+3y+5z=28\).

2) Le technicien décide de verser deux fois plus de solution A que de solution C. Écris le système de trois équations obtenu, puis résous-le par la méthode du pivot de Gauss.

3) On abandonne la condition de la question 2. Démontre que le système formé des deux équations de la question 1 a les mêmes solutions que le système formé de \(x=1+z\) et \(y=9-2z\). Les volumes étant positifs ou nuls, entre quelles valeurs \(z\) peut-il varier ?

4) Un litre de solution coûte 200 F pour A, 500 F pour B et 900 F pour C. Exprime le coût du mélange en fonction de \(z\), puis détermine le mélange le moins cher et son coût. Justifie.

5) Le flacon de solution B est vide. Détermine les volumes de A et de C à mélanger, calcule le coût de ce mélange et compare-le au coût minimal.

Dans un repère du plan, on considère les droites \((D_1)\) d'équation \(3x-2y=4\) et \((D_2)\) d'équation \(x+4y=6\). On note \((S)\) le système formé par ces deux équations.

1) Calcule le déterminant de \((S)\). Que peux-tu en déduire pour les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) ? Détermine par substitution les coordonnées de leur point commun \(A\).

2) Soit \(c\) un réel et \((D_3)\) la droite d'équation \(6x-4y=c\). Démontre que \((D_3)\) n'est jamais sécante à \((D_1)\), puis précise, suivant la valeur de \(c\), la position de \((D_3)\) par rapport à \((D_1)\).

3) Soit \(k\) un réel et \((D_4)\) la droite d'équation \(2x+ky=7\). Pour quelle valeur de \(k\) les droites \((D_1)\), \((D_2)\) et \((D_4)\) passent-elles par un même point ? Pour quelle valeur de \(k\) la droite \((D_4)\) est-elle parallèle à \((D_2)\) ? Justifie.

4) En posant \(X=x^2\) et \(Y=y^2\), résous le système formé des équations \(3x^2-2y^2=4\) et \(x^2+4y^2=6\). Combien a-t-il de couples solutions ?

5) Par une méthode analogue, résous le système formé des équations \(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{y}=4\) et \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=6\), où \(x\) et \(y\) sont des réels non nuls.