Première D · Leçon 5
Extension de la notion de limite
Ce que dit le programme officiel (17 points)
- Limite infinie d’une fonction en un point
- Notion d’asymptote verticale
- Limite à l’infini d’une fonction
- Notion d’asymptote horizontale
- Limite à l’infini des fonctions de référence : x ⟼ c ; x ⟼ x ; x ⟼ x² ; x ⟼ x³ ; x ⟼ √x ; x ⟼ 1/x
- Limite à l’infini des fonctions x ⟼ xⁿ ; x ⟼ 1/xⁿ (n ∈ ℕ∗)
- Limite à gauche ou à droite en un point a de : x ⟼ 1/(x − a)
- Limite à gauche ou à droite en un point a de : x ⟼ 1/(x − a)ⁿ (n ∈ ℕ∗ ∖ {1})
- Propriétés relatives aux opérations sur les limites à l’infini
- Propriété relative à la limite à l’infini d’une fonction polynôme
- Propriété relative à la limite à l’infini d’une fonction rationnelle
- Calcul des limites à l’infini des fonctions polynômes et des fonctions rationnelles
- Limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction
- Limite à droite (respectivement à gauche) en un point a d’une fonction rationnelle non définie en a.
- Justifier qu’une droite d’équation x = a est asymptote verticale à la représentation graphique d’une fonction donnée
- Justifier qu’une droite d’équation y = b est asymptote horizontale à la représentation graphique d’une fonction donnée
- Traiter une situation faisant appel à l’extension de la notion de limite
Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923
Opérations sur les limites et formes indéterminées
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Résumé
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).