Première D · Leçon 2

Systèmes d’équations linéaires dans ℝ² et dans ℝ³

Ce que dit le programme officiel (4 points)

Systèmes d’équations linéaires dans ℝ²
Systèmes d’équations linéaires dans ℝ³
Méthode de résolution par substitution
Méthode du pivot de Gauss

Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923

Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Rappel de Seconde

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Définition — Système linéaire 2×2

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues \(x, y\) s'écrit :

\[ \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \]

Résoudre le système, c'est trouver tous les couples \((x,y)\) qui vérifient simultanément les deux équations.

Méthode — Substitution

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Méthode — Combinaison linéaire

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Systèmes 2×2 : déterminant et interprétation graphique

Rappel de Seconde

Lecture graphique

Chaque équation \(ax+by=e\) (avec \(b\ne0\)) représente une droite. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.

Trois cas : les droites sont sécantes (une unique solution) ; parallèles distinctes (aucune solution) ; ou confondues (une infinité de solutions).

Déterminant du système

On appelle déterminant du système \(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) le nombre \(D=ad-bc\).

Si \(D \ne 0\), le système admet une unique solution (droites sécantes). Si \(D=0\), les droites sont parallèles : le système n'a aucune solution, ou une infinité si les deux équations sont proportionnelles.

Les formules explicites de Cramer ne sont pas au programme : le déterminant sert uniquement à établir l'existence et l'unicité de la solution avant de résoudre par substitution ou combinaison.

Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.

Exemples gradués

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Figure interactive — Système 2×2

\(\begin{cases}x+2y=7\\3x-y=7\end{cases}\) : les deux droites se coupent en un unique point, la solution du système.