Première D · Leçon 7
Étude et représentation graphique d’une fonction
Ce que dit le programme officiel (29 points)
- la définition d’une fonction paire
- la définition d’une fonction impaire
- la définition d’une fonction périodique
- la propriété relative à la représentation graphique d’une fonction paire, d’une fonction impaire, d’une fonction périodique
- les propriétés relatives à l’axe de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- les propriétés relatives au centre de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- la représentation graphique d’une fonction paire
- la représentation graphique d’une fonction impaire
- la représentation graphique d’une fonction périodique
- le centre de symétrie à partir de la représentation graphique d’une fonction
- l’axe de symétrie à partir de sa représentation graphique d’une fonction
- le tableau de variation d’une fonction définie par sa formule explicite sur son ensemble de définition
- les extrémums éventuels d’une fonction définie par sa formule explicite sur son ensemble de définition
- la période d’une fonction périodique
- les asymptotes verticales, horizontales ou obliques de la représentation graphique d’une fonction définie par sa formule explicite sur son ensemble de définition
- graphiquement la parité d’une fonction
- graphiquement la périodicité d’une fonction
- graphiquement la limite nulle à l’infini de 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏),(asymptote oblique)
- la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3
- la représentation graphique d’une fonction homographique
- la représentation graphique d’une fonction de type 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐/𝑑𝑥 + 𝑒
- la représentation graphique de chacune des fonctions circulaires : 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) ; 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)
- qu’une droite donnée par une équation cartésienne est asymptote à la représentation graphique d’une fonction
- qu’une fonction est paire ou impaire
- qu’une fonction est périodique
- qu’une droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est un axe de symétrie de la courbe représentative d’une fonction
- qu’un point donné est centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction
- graphiquement des équations 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ou des inéquations de type 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
- une situation faisant appel à l’étude et à la représentation graphique d’une fonction
Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Sens de variation, maximum et minimum d'une fonction
Rappel de Seconde\(f\) admet un maximum \(M\) sur \(D_f\) s'il existe \(x_0\) tel que \(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) pour tout \(x \in D_f\) (de même pour un minimum, avec \(\ge\)).
\(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(a,b \in I\), \(a \le b \implies f(a) \le f(b)\) (l'ordre est conservé). \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(a \le b \implies f(a)\ge f(b)\) (l'ordre est inversé).
Au programme de Seconde, on étudie le sens de variation directement (en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) par le calcul), sans passer par la notion de limite (hors programme à ce niveau).
Exemple. Montrer que \(f(x)=x^2\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\). Soit \(a \le b \le 0\). Alors \(f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Or \(a-b \le 0\) (car \(a \le b\)) et \(a+b \le 0\) (car \(a,b \le 0\)), donc \(f(a)-f(b) = (a-b)(a+b) \ge 0\) (produit de deux négatifs), soit \(f(a) \ge f(b)\) : \(f\) est bien décroissante sur \(]-\infty;0]\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Étude d'une fonction polynôme
Les fonctions polynômes de degré 2 ou 3 modélisent de nombreuses situations : trajectoire d'un objet lancé, bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, volume d'une boîte selon ses dimensions. Étudier une telle fonction, c'est connaître son ensemble de définition, ses limites, son sens de variation, ses extremums, les points remarquables de sa courbe, puis tracer cette courbe avec précision. La dérivée, étudiée dans la leçon précédente, est l'outil principal de cette étude.
Une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3 est une fonction de la forme \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels. Si \(a\neq0\), elle est de degré \(3\) ; si \(a=0\) et \(b\neq0\), elle est de degré \(2\).
- Elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\) : son signe s'étudie avec le discriminant ou une factorisation.
- Une fonction polynôme de degré \(2\) peut s'écrire sous forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) ; sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
1) Limites en l'infini. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). On le justifie en factorisant : \(x^3-6x^2+9x=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac9{x^2}\right)\), et la parenthèse tend vers \(1\).
2) Variations. Sur un intervalle, si \(f'(x)\gt 0\), sauf en des points isolés où \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)\lt 0\) alors \(f\) est strictement décroissante.
3) Extremums. Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f(x_0)\) est un extremum relatif : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).
4) Symétries. La parabole d'équation \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) admet la droite d'équation \(x=\alpha\) pour axe de symétrie. La courbe d'une fonction polynôme de degré \(3\), \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), admet pour centre de symétrie le point \(\Omega\) d'abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{3a}\) et d'ordonnée \(f(\alpha)\).
Justification. En développant, pour tout réel \(h\) : \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+(3a\alpha^2+2b\alpha+c)h+(3a\alpha+b)h^2+ah^3\). Comme \(3a\alpha+b=0\), il reste \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+f'(\alpha)h+ah^3\). En remplaçant \(h\) par \(-h\) : \(f(\alpha-h)=f(\alpha)-f'(\alpha)h-ah^3\). En additionnant, \(f(\alpha-h)+f(\alpha+h)=2f(\alpha)\) : les points de la courbe d'abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\) sont symétriques par rapport à \(\Omega\).
- Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\).
- Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec le terme de plus haut degré.
- Dérivée : calcule \(f'(x)\), factorise-la si possible et étudie son signe (tableau de signes).
- Tableau de variation : place les limites, les flèches et les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule.
- Points remarquables : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses (solutions de \(f(x)=0\) quand on sait les trouver), extremums, élément de symétrie.
- Tracé : place d'abord les points remarquables et les tangentes horizontales aux extremums, puis trace la courbe en respectant le tableau de variation.
Énoncé : Étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) et donne les éléments utiles à sa représentation graphique.
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines \(1\) et \(3\), négatif entre elles. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).
Valeurs : \(f(1)=1-6+9=4\), maximum relatif ; \(f(3)=27-54+27=0\), minimum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\), donc la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=0\) et touche cet axe en \(x=3\), où la tangente est horizontale. Centre de symétrie : \(-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-6}{3}=2\) et \(f(2)=8-24+18=2\), donc \(\Omega(2\,;2)\). Contrôle : \(f(1)+f(3)=4+0=4=2\times2\).
Courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\)
Le maximum \((1\,;4)\), le minimum \((3\,;0)\) où la courbe touche l'axe des abscisses, et le centre de symétrie \(\Omega(2\,;2)\).
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Voir les offresBeaucoup d'élèves pensent qu'une fonction de degré \(3\) a toujours un maximum et un minimum, ou qu'il suffit que \(f'(x_0)=0\) pour avoir un extremum en \(x_0\). C'est faux.
Contre-exemple : \(h(x)=x^3\). On a \(h'(x)=3x^2\), qui s'annule en \(0\) mais reste positive de part et d'autre : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extremum. La courbe a seulement une tangente horizontale en \(O\). Il faut donc toujours vérifier que \(f'\) change de signe.
Autre piège : écrire \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2)=+\infty-\infty=0\). La forme « \(+\infty-\infty\) » est indéterminée ; on factorise par le terme de plus haut degré.
Avant de tracer, vérifie la cohérence de ton tableau : une flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande, et les valeurs de \(f\) aux extremums doivent être calculées dans l'expression de départ, pas dans \(f'\). Pour un polynôme de degré \(3\), le centre de symétrie est aussi le milieu des deux extremums quand il y en a : ici le milieu de \((1\,;4)\) et \((3\,;0)\) est bien \((2\,;2)\).
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Sa courbe présente souvent des branches qui s'éloignent vers l'infini au voisinage d'une valeur interdite, et qui se rapprochent d'une droite quand \(x\) devient très grand. Ces droites, les asymptotes, structurent tout le tracé. En Première, on étudie surtout les fonctions homographiques et les fonctions de la forme \(x\mapsto ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Une fonction homographique est une fonction de la forme \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\neq0\) et \(ad-bc\neq0\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\). Par division, elle s'écrit sous la forme réduite \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) avec \(\beta\neq0\).
- Une fonction de la forme \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\), avec \(c\neq0\) et \(d\neq0\), est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac ed\right\}\).
La condition \(ad-bc\neq0\) exclut le cas où le numérateur est proportionnel au dénominateur : par exemple \(\dfrac{2x+2}{x+1}=2\) pour \(x\neq-1\), ce qui n'est pas une vraie fonction homographique.
1) Fonction homographique \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) :
- quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le côté : la droite d'équation \(x=x_0\) est asymptote verticale ;
- quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(0\), donc \(f(x)\) tend vers \(\alpha\) : la droite d'équation \(y=\alpha\) est asymptote horizontale ;
- le point \(\Omega(x_0\,;\alpha)\), intersection des asymptotes, est centre de symétrie de la courbe, car \(f(2x_0-x)+f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x_0-x}+\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}=2\alpha\).
2) Fonction \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) avec \(a\neq0\) : la droite \(x=-\dfrac ed\) est asymptote verticale ; comme \(g(x)-(ax+b)=\dfrac{c}{dx+e}\) tend vers \(0\) en \(\pm\infty\), la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote oblique. Le point d'intersection des deux asymptotes, \(\Omega\left(x_0\,;ax_0+b\right)\) avec \(x_0=-\dfrac ed\), est centre de symétrie de la courbe. En effet \(d(2x_0-x)+e=-2e-dx+e=-(dx+e)\), donc \(g(2x_0-x)+g(x)=a(2x_0-x)+b-\dfrac{c}{dx+e}+ax+b+\dfrac{c}{dx+e}=2(ax_0+b)\). Le signe de \(\dfrac{c}{dx+e}\) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
- Détermine l'ensemble de définition en cherchant les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Si nécessaire, effectue une division pour obtenir la forme réduite \(\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) ou \(ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Près de la valeur interdite, étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Déduis-en les asymptotes : verticale, horizontale ou oblique.
- Calcule la dérivée (forme \(\dfrac uv\) ou forme réduite), étudie son signe sur chaque intervalle de l'ensemble de définition, puis dresse le tableau de variation avec une double barre sous la valeur interdite.
- Précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote, les points remarquables, le centre de symétrie, puis trace : asymptotes d'abord, courbe ensuite.
Énoncé : Étudie \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Comme \(2x+1=2(x-1)+3\), on a \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\).
Limites : quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures, \(x-1\) tend vers \(0\) en restant positif, donc \(\dfrac3{x-1}\) tend vers \(+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\) ; par valeurs inférieures, \(f(x)\to-\infty\). En \(\pm\infty\), \(f(x)\to2\). Donc \(x=1\) est asymptote verticale et \(y=2\) asymptote horizontale.
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Le point \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Position : \(f(x)-2=\dfrac3{x-1}\) est positif pour \(x\gt 1\), donc la courbe est au-dessus de l'asymptote \(y=2\) à droite de \(1\) et en dessous à gauche.
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Voir les offresCourbe de \(g(x)=x+2+\dfrac4{x-1}\) et ses asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote oblique \(y=x+2\) (en pointillés), maximum relatif \((-1\,;-1)\), minimum relatif \((3\,;7)\) et centre de symétrie \(\Omega(1\,;3)\).
Dans l'exemple 1, \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\neq1\). On ne peut pourtant pas écrire « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ».
Contre-exemple : \(0\lt 2\), et pourtant \(f(0)=\dfrac1{-1}=-1\) est plus petit que \(f(2)=\dfrac51=5\). La fonction « remonte » en passant d'une branche à l'autre, à cause de la valeur interdite. Le sens de variation se donne toujours intervalle par intervalle : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Autre erreur : oublier d'étudier séparément les limites à gauche et à droite de la valeur interdite ; le signe du dénominateur change de part et d'autre.
Pour tracer la courbe, dessine d'abord les asymptotes en pointillés et place le centre de symétrie. Chaque branche de la courbe « longe » ses asymptotes : il suffit alors de placer les extremums et quelques points calculés pour obtenir un tracé juste. Une branche tracée d'un côté se déduit de l'autre par la symétrie de centre \(\Omega\).
Fonctions cosinus et sinus
Rappel de SecondeLes fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
On rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Plan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
Étudier complètement une fonction, c'est enchaîner dans un ordre logique tous les outils vus jusqu'ici : ensemble de définition, parité, limites et asymptotes, dérivée, tableau de variation, points remarquables, éléments de symétrie. Suivre toujours le même plan évite les oublis et donne une représentation graphique fidèle. C'est le type de problème le plus fréquent en fin de Première et au Bac.
Soit \(f\) une fonction d'ensemble de définition \(D\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Si \(f\) est paire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on étudie \(f\) sur \(D\cap[0\,;+\infty[\) et on complète par symétrie.
- Si \(f\) est impaire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=-f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'origine : même réduction, et les variations sont les mêmes sur les deux intervalles symétriques.
- La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)=f(x)\).
- Le point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
- Si \(f\) est périodique de période \(T\), on l'étudie sur un intervalle de longueur \(T\), puis on reproduit la courbe par translations.
- Ensemble de définition \(D\).
- Parité, périodicité : si elles existent, réduis l'intervalle d'étude.
- Limites aux bornes de l'intervalle d'étude et asymptotes : verticale, horizontale, oblique.
- Dérivée : calcul, factorisation, signe.
- Tableau de variation complet, avec les limites et les valeurs des extremums.
- Points remarquables : intersections avec les axes, extremums, tangentes utiles (en particulier en \(0\) et aux points où la courbe coupe les axes).
- Éléments de symétrie à démontrer si l'énoncé les suggère.
- Tracé : asymptotes, points et tangentes, puis la courbe, en respectant le tableau ; complète par symétrie si l'étude a été réduite.
Pour tracer une tangente sans son équation, place le point de contact, puis un second point obtenu en avançant de \(1\) en abscisse et de \(f'(x_0)\) en ordonnée.
Énoncé : Fais l'étude complète de \(f(x)=x^3-3x\) et trace sa courbe.
Solution : \(D=\mathbb{R}\), symétrique par rapport à \(0\), et \(f(-x)=-x^3+3x=-f(x)\) : \(f\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. On l'étudie sur \([0\,;+\infty[\).
Limite : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Sur \([0\,;+\infty[\), \(x+1\gt 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\) : \(f\) est décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1-3=-2\), minimum relatif.
Par imparité, \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;0]\), et \(f(-1)=-f(1)=2\) est un maximum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-3)=0\iff x=0\) ou \(x=\sqrt3\) ou \(x=-\sqrt3\). Tangente en \(O\) : \(f'(0)=-3\), donc la tangente a pour équation \(y=-3x\).
Courbe de \(f(x)=x^3-3x\) et sa tangente en \(O\)
La courbe est symétrique par rapport à l'origine. Maximum relatif \((-1\,;2)\), minimum relatif \((1\,;-2)\), tangente \(y=-3x\) en \(O\) (en pointillés).
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Voir les offresQuand on étudie une fonction impaire seulement sur \([0\,;+\infty[\), il faut ensuite déduire les variations et les valeurs sur \(]-\infty\,;0]\). Erreur fréquente avec \(f(x)=x^3-3x\) : écrire que \(f(-1)=-2\) parce que \(f(1)=-2\), comme si la fonction était paire. Pour une fonction impaire, \(f(-1)=-f(1)=2\).
Autre erreur : affirmer qu'un point est centre de symétrie sans le démontrer. Il faut vérifier \(f(2a-x)+f(x)=2b\) pour tout \(x\) de \(D\) (après avoir vérifié que \(2a-x\) est aussi dans \(D\)), et pas seulement sur un ou deux exemples : un contrôle numérique ne remplace pas la démonstration.
Rédige ton tableau de variation avec soin : sur la ligne des variations figurent toutes les limites et les valeurs des extremums, et une double barre sous chaque valeur interdite. Ajoute ensuite deux ou trois valeurs calculées, par exemple les intersections avec les axes. Le tracé ne doit plus rien inventer : il traduit fidèlement le tableau.
Quand tu dois aller vite sans perdre de rigueur, adopte ce réflexe : asymptotes d’abord, variations ensuite, points remarquables enfin. En effet, les asymptotes fixent le cadre général de la figure, les variations donnent le sens des branches, et les points remarquables servent à ancrer précisément la courbe.
Un autre bon réflexe consiste à rechercher une écriture plus lisible avant de dériver. Par exemple, pour une fonction rationnelle, une décomposition du type \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) fait apparaître immédiatement la partie affine, l’asymptote oblique éventuelle, l’asymptote verticale et souvent un centre de symétrie. Tu gagnes du temps et tu comprends mieux la courbe.
Avant de terminer, fais un contrôle final en te posant trois questions : la courbe respecte-t-elle les symétries trouvées ? suit-elle bien les sens de variation ? se rapproche-t-elle correctement des asymptotes ? Si la réponse est oui, ton tracé a de grandes chances d’être juste.
Résumé
Un \(x\) a une seule image \(f(x)\) ; un \(y\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Lecture graphique : verticale pour l'image, horizontale pour les antécédents.
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) directement par le calcul, sans notion de limite (hors programme en Seconde).
Paire : \(f(-x)=f(x)\), symétrie / axe des ordonnées. Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), symétrie / origine. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
\(f(x+T)=f(x)\) : le motif se répète tous les \(T\). Utile pour les fonctions circulaires (chapitre VI).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Sujet type devoir
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-8x+3\).
Question 1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
\(f(0)=3\) ; \(f(2)=8-16+3=-5\) ; \(f(4)=32-32+3=3\).
Question 2. \(f\) est-elle paire ? Justifier.
Non : on a trouvé \(f(0)=3\) et \(f(4)=3\), mais \(f(-4)=32+32+3=67 \ne f(4)=3\). Comme \(f(-4)\ne f(4)\), \(f\) n'est pas paire (et le test suffit ici, un seul contre-exemple invalide la parité).
Question 3. Montrer que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\) en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(0\le a\le b\le2\).
\(f(a)-f(b) = 2a^2-8a-(2b^2-8b) = 2(a^2-b^2) - 8(a-b) = 2(a-b)(a+b) - 8(a-b) = (a-b)\big(2(a+b)-8\big)\).
Pour \(0\le a\le b\le2\) : \(a-b\le0\). Et \(a+b\le4\), donc \(2(a+b)-8\le0\). Un produit de deux facteurs négatifs (ou nuls) est positif : \(f(a)-f(b)\ge0\), soit \(f(a)\ge f(b)\). \(f\) est bien décroissante sur \([0;2]\).
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).