Première D · Leçon 11
Probabilité
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- la définition d’une probabilité sur un ensemble fini
- le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, évènement, évènement certain, éventualité, évènement élémentaire, évènement contraire, évènement impossible, probabilité d’un évènement, évènement (𝐴 ou 𝐵), évènement (𝐴 et 𝐵), univers, évènements incompatibles, équiprobabilité.
- les propriétés 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) ; 𝑝(𝐴̅) = 1 − 𝑝(𝐴)
- dénombrer les cas possibles d’une expérience dans le cas d’une expérience conduisant à un nombre fini d’éventualités
- dénombrer les cas favorables d’un évènement dans le cas d’une expérience conduisant à un nombre fini d’éventualités
- calculer la probabilité d’un évènement
Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923
Probabilités : univers, événements, équiprobabilité
Quand on lance un dé ou qu'on tire une boule dans une urne, on ne peut pas prévoir le résultat, mais on peut mesurer ses chances de se produire. Une probabilité est un nombre compris entre \(0\) et \(1\) qui mesure cette chance. Pour la calculer, on décrit d'abord toutes les issues possibles, puis on utilise le dénombrement étudié à la leçon précédente pour compter les cas possibles et les cas favorables.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles, mais dont on ne peut pas prévoir l'issue qui se réalisera. Chaque issue possible s'appelle une éventualité.
- L'ensemble de toutes les éventualités s'appelle l'univers, noté \(\Omega\). Pour le lancer d'un dé à six faces, \(\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\).
- Un événement est une partie de \(\Omega\). Par exemple, « obtenir un nombre pair » est l'événement \(A=\{2\,;4\,;6\}\). On dit que \(A\) est réalisé si l'issue obtenue appartient à \(A\).
- Un événement élémentaire est un événement qui contient une seule éventualité, par exemple \(\{5\}\).
- \(\Omega\) est l'événement certain : il est toujours réalisé. \(\varnothing\) est l'événement impossible : il n'est jamais réalisé.
Soit \(\Omega=\{\omega_1\,;\omega_2\,;\ldots\,;\omega_n\}\) un univers fini. Définir une probabilité \(p\) sur \(\Omega\), c'est associer à chaque éventualité \(\omega_i\) un nombre \(p_i=p(\{\omega_i\})\) tel que :
- pour tout \(i\), \(p_i\ge0\) ;
- \(p_1+p_2+\cdots+p_n=1\).
La probabilité d'un événement \(A\) est alors la somme des probabilités des éventualités qui le composent. Par convention, \(p(\varnothing)=0\).
Par exemple, si un dé est truqué de sorte que \(p(\{6\})=\dfrac12\) et que les cinq autres faces ont la même probabilité \(a\), alors \(5a+\dfrac12=1\), donc \(a=\dfrac1{10}\). La probabilité d'obtenir un nombre pair est \(p(\{2\})+p(\{4\})+p(\{6\})=\dfrac1{10}+\dfrac1{10}+\dfrac12=\dfrac7{10}\).
Pour tout événement \(A\) : \(0\le p(A)\le1\), \(p(\Omega)=1\) et \(p(\varnothing)=0\).
Équiprobabilité. On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les éventualités ont la même probabilité. Si \(\operatorname{card}(\Omega)=n\), chaque éventualité a alors la probabilité \(\dfrac1n\), car les \(n\) probabilités égales ont pour somme \(1\). Pour tout événement \(A\), on obtient :
\[p(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.\]Justification : \(A\) contient \(\operatorname{card}(A)\) éventualités, chacune de probabilité \(\dfrac1n\), donc \(p(A)=\operatorname{card}(A)\times\dfrac1n\).
Les énoncés signalent l'équiprobabilité par des expressions comme « dé équilibré », « pièce bien équilibrée », « on tire au hasard », « boules indiscernables au toucher ».
Pour calculer la probabilité d'un événement :
- Décris l'expérience et l'univers \(\Omega\), puis justifie l'équiprobabilité à partir de l'énoncé.
- Calcule \(\operatorname{card}(\Omega)\) avec l'outil de dénombrement adapté : liste ou arbre pour les petites expériences ; pour \(p\) tirages successifs avec remise parmi \(n\) objets, \(n^p\) cas ; successifs sans remise, \(A_n^p\) cas ; simultanés, \(C_n^p\) cas.
- Écris l'événement \(A\) en mots précis, puis compte ses cas favorables \(\operatorname{card}(A)\) en utilisant le même mode de comptage que pour \(\Omega\).
- Calcule \(p(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}\), simplifie la fraction et vérifie que le résultat est compris entre \(0\) et \(1\).
Énoncé : On lance un dé équilibré à six faces. On note \(A\) l'événement « obtenir un nombre pair » et \(B\) l'événement « obtenir un nombre supérieur ou égal à \(5\) ». Calcule \(p(A)\) et \(p(B)\).
Solution : L'univers est \(\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\), donc \(\operatorname{card}(\Omega)=6\). Le dé est équilibré : il y a équiprobabilité.
\(A=\{2\,;4\,;6\}\), donc \(p(A)=\dfrac36=\dfrac12\).
\(B=\{5\,;6\}\), donc \(p(B)=\dfrac26=\dfrac13\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresOn lance deux pièces équilibrées. Certains élèves disent qu'il y a trois résultats, « deux piles », « deux faces », « une pile et une face », et concluent que \(p(\text{une pile et une face})=\dfrac13\). C'est faux : ces trois résultats ne sont pas équiprobables.
Il faut distinguer les deux pièces : \(\Omega=\{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}\), avec \(4\) issues équiprobables. L'événement « une pile et une face » contient \(PF\) et \(FP\), donc sa probabilité est \(\dfrac24=\dfrac12\).
La formule « cas favorables sur cas possibles » ne s'applique que si les issues comptées sont équiprobables, et les cas favorables doivent être comptés de la même façon que les cas possibles : ordonnés ou non, avec ou sans remise.
Quand tu calcules les probabilités de plusieurs événements qui se partagent tous les cas possibles, sans chevauchement (comme \(R\), \(D\) et \(V\) dans l'exemple 2), vérifie que leur somme vaut \(1\). Ici \(\dfrac{10}{28}+\dfrac{15}{28}+\dfrac3{28}=1\). Une somme différente de \(1\) révèle un cas oublié ou compté deux fois.
Opérations sur les événements, événements incompatibles
Les questions de probabilités portent souvent sur des événements combinés : « obtenir un cœur ou un roi », « obtenir au moins une boule rouge », « ne pas gagner ». Comme les événements sont des parties de l'univers, on les combine avec les opérations sur les ensembles, et deux formules permettent alors de calculer leurs probabilités sans tout recompter.
Soient \(A\) et \(B\) deux événements d'un univers \(\Omega\).
- L'événement « \(A\) et \(B\) » est \(A\cap B\) : il est réalisé lorsque \(A\) et \(B\) sont réalisés en même temps.
- L'événement « \(A\) ou \(B\) » est \(A\cup B\) : il est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux est réalisé.
- L'événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est formé des éventualités de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(A\) : il est réalisé exactement quand \(A\) ne l'est pas.
- \(A\) et \(B\) sont incompatibles lorsque \(A\cap B=\varnothing\) : ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.
Exemple avec un dé : « obtenir \(1\) » et « obtenir \(6\) » sont incompatibles ; « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont contraires l'un de l'autre.
Pour tous événements \(A\) et \(B\) :
\[p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).\]Justification : \(p(A)+p(B)\) additionne les probabilités des éventualités de \(A\) et de \(B\), mais celles de \(A\cap B\) sont comptées deux fois ; on les retire donc une fois.
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, \(p(A\cap B)=p(\varnothing)=0\), donc \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)\).
Pour tout événement \(A\) :
\[p(\overline{A})=1-p(A).\]En effet, \(A\) et \(\overline{A}\) sont incompatibles et \(A\cup\overline{A}=\Omega\), donc \(p(A)+p(\overline{A})=p(\Omega)=1\).
Lorsqu'un événement contient les mots « au moins un », il a souvent beaucoup de cas favorables, alors que son contraire est simple : le contraire de « au moins une boule rouge » est « aucune boule rouge ». Pour calculer sa probabilité :
- Écris clairement l'événement \(A\) puis son contraire \(\overline{A}\) en mots.
- Calcule \(p(\overline{A})\) en comptant ses cas favorables, généralement peu nombreux.
- Conclus avec \(p(A)=1-p(\overline{A})\).
Pour « \(A\) ou \(B\) », commence par te demander si \(A\) et \(B\) peuvent se produire en même temps : si oui, calcule \(p(A\cap B)\) et utilise la formule générale ; si non, additionne simplement.
Énoncé : On tire au hasard une carte d'un jeu de \(32\) cartes (\(4\) couleurs de \(8\) cartes : de \(7\) à l'as, dont un roi par couleur). On note \(C\) « la carte est un cœur » et \(R\) « la carte est un roi ». Calcule \(p(C\cup R)\) et \(p(\overline{C})\).
Solution : Il y a équiprobabilité avec \(\operatorname{card}(\Omega)=32\). On a \(p(C)=\dfrac8{32}\), \(p(R)=\dfrac4{32}\), et \(C\cap R\) est « le roi de cœur », donc \(p(C\cap R)=\dfrac1{32}\).
\(p(C\cup R)=\dfrac8{32}+\dfrac4{32}-\dfrac1{32}=\dfrac{11}{32}\). On retire le roi de cœur, qui a été compté parmi les cœurs et parmi les rois.
\(p(\overline{C})=1-\dfrac8{32}=\dfrac{24}{32}=\dfrac34\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresDeux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble, mais ils peuvent aussi ne se produire ni l'un ni l'autre. Avec un dé, « obtenir \(1\) » et « obtenir \(6\) » sont incompatibles, mais pas contraires : si l'on obtient \(3\), aucun des deux n'est réalisé, et \(p(\{1\})+p(\{6\})=\dfrac13\neq1\).
Autre erreur fréquente : écrire \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)\) sans vérifier que \(A\cap B=\varnothing\). Dans l'exemple 1, cela donnerait \(\dfrac{12}{32}\) au lieu de \(\dfrac{11}{32}\), car le roi de cœur serait compté deux fois.
Traduis systématiquement l'énoncé : « et » donne \(A\cap B\), « ou » donne \(A\cup B\), « ne pas » donne \(\overline{A}\), « au moins un » invite à passer par le contraire, « aucun » est souvent déjà un contraire. Écrire cette traduction en une ligne avant de calculer évite la plupart des erreurs.