Première D · Leçon 4
Limites et continuité
Ce que dit le programme officiel (16 points)
- Notion de limite en un point
- Limites de fonction de référence
- Opérations sur les limites
- Limite à gauche, limite à droite
- Limites de fonctions de référence en un point 𝒂
- Notion de continuité en un point
- Développer une image intuitive de limite en un point, à droite ou à gauche en un point
- La définition de limite n’est pas à donner aux élèves
- L’unicité de la limite en un point où elle existe, fera l’objet d’une remarque
- Les fonctions rencontrées en première C et D sont pour la plupart des fonctions polynômes ou des fonctions rationnelles, il est important que les élèves retiennent les règles sur les limites en un point de ces fonctions.
- Pour une fonction définie en un point 𝑥𝑂, la condition d’être continue en 𝑥𝑂 est équivalente à celle d’avoir une limite en 𝑥𝑂
- Initier les élèves au calcul des limites
- Introduire la notion de continuité en un point.
- Il s’agit d’approcher et développer le concept de limite pour ensuite l’utiliser comme outil dans l’étude de fonction.
- On admettra les limites de fonctions de référence en un point;
- Deux méthodes permettent le passage de l’approche intuitive aux calculs de limites : c’est l’utilisation d’opérations sur les limites connues et/ou des propriétés de majoration, minoration.
Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923
Limite d'une fonction composée
Très souvent, la fonction que tu étudies n’est pas donnée sous une forme simple, mais comme une fonction appliquée à une autre fonction : par exemple \(\sqrt{x^2+1}\), \((3x-1)^2\) ou \(\dfrac{1}{(x-1)^2}\). Calculer la limite d’une telle expression revient à comprendre comment se comportent successivement la fonction intérieure puis la fonction extérieure. La limite d’une fonction composée est donc un outil essentiel pour passer d’une limite connue à une nouvelle limite, sans refaire toute l’étude depuis le début.
Soient deux fonctions \(g\) et \(f\). Quand l’image de \(x\) par \(g\) peut servir d’entrée pour \(f\), on définit la fonction composée de \(f\) par \(g\), notée \(f\circ g\), par :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Dans l’écriture \(f(g(x))\), la fonction \(g\) agit d’abord, puis la fonction \(f\) agit sur le résultat obtenu. On appelle donc \(g\) la fonction intérieure, et \(f\) la fonction extérieure.
Pour étudier une limite de la forme \(\lim_{x\to a} f(g(x))\), on commence par regarder la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\). Si \(g(x)\) tend vers un nombre \(b\), la question devient alors : que vaut \(f(t)\) quand \(t\) tend vers \(b\) ?
On dira aussi qu’une fonction \(f\) est continue en \(b\) lorsque \(\lim_{t\to b} f(t)=f(b)\). Dans ce cas, la limite de la composée se calcule souvent en remplaçant simplement l’intérieur par sa limite, à condition que cela ait un sens.
Théorème fondamental. Si \(\lim_{x\to a} g(x)=b\) et si \(\lim_{t\to b} f(t)=L\), alors :
\[ \lim_{x\to a} f(g(x))=L. \]
L’idée est intuitive : quand \(x\) est très proche de \(a\), la valeur \(g(x)\) est très proche de \(b\) ; or, quand l’entrée d’une fonction \(f\) est proche de \(b\), la sortie \(f(t)\) est proche de \(L\). Donc \(f(g(x))\) est proche de \(L\).
Cas important avec continuité. Si \(\lim_{x\to a} g(x)=b\) et si \(f\) est continue en \(b\), alors :
\[ \lim_{x\to a} f(g(x))=f(b). \]
En effet, la continuité en \(b\) signifie précisément que \(\lim_{t\to b} f(t)=f(b)\).
Attention au côté d’approche. Si \(g(x)\to b\) mais que, près de \(a\), on a toujours \(g(x)>b\), alors c’est la limite à droite de \(f\) en \(b\) qu’il faut utiliser : si \(\lim_{t\to b^+} f(t)=L\), alors \(\lim_{x\to a} f(g(x))=L\). De même, si \(g(x)<b\) près de \(a\), on utilise la limite à gauche. Cette précision est essentielle pour des fonctions comme \(t\mapsto \dfrac{1}{t}\) ou \(t\mapsto \sqrt{t}\).
Remarque. Quand une limite existe, elle est unique. Ainsi, si les comportements obtenus à gauche et à droite ne coïncident pas, la limite de la composée n’existe pas.
Pour calculer une limite de la forme \(\lim_{x\to a} f(g(x))\), tu peux suivre les étapes suivantes :
- Repérer la fonction intérieure. Écris clairement \(u(x)=g(x)\). Cela te permet de voir la composée comme \(f(u(x))\).
- Calculer la limite de l’intérieur. Détermine \(\lim_{x\to a} u(x)\). Appelle cette limite \(b\).
- Identifier la bonne limite de la fonction extérieure. Cherche alors \(\lim_{t\to b} f(t)\). Si les valeurs de \(u(x)\) arrivent vers \(b\) seulement par valeurs supérieures ou seulement par valeurs inférieures, pense à utiliser une limite à droite ou à gauche.
- Vérifier le domaine. Assure-toi que l’expression a bien un sens près du point étudié : par exemple, pour une racine carrée, il faut un intérieur positif ou nul ; pour un inverse, il faut éviter le zéro.
- Conclure proprement. Écris une phrase de conclusion du type : « Comme \(u(x)\to b\) et comme \(f(t)\to L\) quand \(t\to b\), on en déduit que \(f(u(x))\to L\). »
Cette méthode évite les remplacements automatiques sans justification. Elle te force à voir clairement quelle fonction agit en premier et de quel côté la variable intermédiaire s’approche de sa limite.
Énoncé : Calculer \(\lim_{x\to 2} (3x-1)^2\).
Solution : On reconnaît une composée. La fonction intérieure est \(u(x)=3x-1\), et la fonction extérieure est la fonction carré \(f(t)=t^2\).
Calculons d’abord la limite de l’intérieur :
\[ \lim_{x\to 2} (3x-1)=3\times 2-1=6-1=5. \]
La fonction carré est continue en \(5\). Donc :
\[ \lim_{t\to 5} t^2=5^2=25. \]
Par composition, on obtient alors :
\[ \lim_{x\to 2} (3x-1)^2=25. \]
On peut rédiger la conclusion ainsi : comme \(3x-1\to 5\) quand \(x\to 2\), et comme la fonction carré est continue en \(5\), on a \((3x-1)^2\to 5^2\), donc la limite vaut \(25\).
Cet exemple montre le cas le plus simple : quand la fonction extérieure est continue au point atteint par la fonction intérieure, on remplace l’intérieur par sa limite puis on calcule.
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Voir les offresErreur fréquente 1 : croire qu’il suffit toujours de « remplacer \(x\) par sa valeur ». Cette idée n’est juste que lorsque la fonction extérieure est continue au point atteint par la fonction intérieure. Par exemple, dans \(\dfrac{1}{(x-1)^2}\), si tu remplaces trop vite, tu obtiens \(\dfrac{1}{0}\), ce qui n’a pas de sens. Il faut d’abord repérer que \((x-1)^2\to 0^+\), puis utiliser la limite à droite de \(t\mapsto \dfrac{1}{t}\).
Erreur fréquente 2 : oublier le côté d’approche. Prenons \(f(t)=\dfrac{1}{t}\) et \(g(x)=x^2\). On pourrait dire : « la limite de \(\dfrac{1}{t}\) en \(0\) n’existe pas, donc la limite de \(\dfrac{1}{x^2}\) en \(0\) n’existe pas ». C’est faux. En réalité, \(x^2\to 0^+\), donc
\[ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Erreur fréquente 3 : confondre \(f(g(x))\) et \(g(f(x))\). Par exemple, si \(f(t)=t^2\) et \(g(x)=x+1\), alors \(f(g(x))=(x+1)^2\), tandis que \(g(f(x))=x^2+1\). Ce ne sont pas les mêmes expressions, donc elles n’ont pas en général le même comportement. Dans une limite de composée, l’ordre des fonctions compte absolument.
Un bon réflexe consiste à nommer l’intérieur : écris \(u=g(x)\). La limite à calculer devient alors une phrase simple : « \(u\) tend vers tel nombre, donc je regarde ce que fait la fonction extérieure quand son entrée tend vers ce nombre. » Cette écriture clarifie immédiatement le raisonnement.
Autre réflexe très utile : demande-toi toujours si \(u\) arrive vers sa limite par la droite ou par la gauche. Ce détail est décisif pour les fonctions comme \(\dfrac{1}{u}\) et \(\sqrt{u}\). Par exemple, si \(u=(x-a)^2\), alors \(u\ge 0\), donc \(u\) tend vers \(0\) par valeurs positives. Enfin, quand la fonction extérieure est un polynôme, une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas, ou une racine carrée utilisée sur des valeurs autorisées, pense immédiatement à la continuité : c’est souvent la voie la plus rapide et la plus sûre.
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
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Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
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Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Majorants, minorants, maximum et minimum d'une partie de ℝ
Rappel de SecondeSoit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \le M\). Un réel \(m\) est un minorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \ge m\).
Si un majorant de \(E\) appartient à \(E\), c'est le plus grand élément (ou maximum, noté \(\max E\)) de \(E\). De même pour le minorant appartenant à \(E\) : c'est le plus petit élément (minimum, \(\min E\)).
Au programme de Seconde, on ne cherche pas systématiquement tous les majorants ou minorants d'un ensemble : on sait vérifier qu'un réel donné en est un. La démarche : prendre un élément quelconque \(x\) de \(E\) et montrer l'inégalité voulue par le calcul.
Exemple. Soit \(E = \{x \in \mathbb{R}\ /\ 1 \le x \le 4\}\). Le réel \(10\) est-il un majorant de \(E\) ? Oui : tout \(x \in E\) vérifie \(x \le 4 \le 10\). Le réel \(3\) est-il un majorant de \(E\) ? Non : \(x = 3{,}5\) appartient à \(E\) et \(3{,}5 > 3\), donc \(3\) ne majore pas \(E\).
Ici, \(4\) est un majorant de \(E\) et \(4 \in E\) : c'est donc le maximum de \(E\), \(\max E = 4\). De même \(\min E = 1\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Facile. \(E = \{2, 5, -1, 8\}\) : \(8\) est un majorant (et le maximum, car \(8 \in E\)) ; \(-1\) est un minorant (et le minimum).
Intermédiaire. \(E = \,]0\,;\,3[\) : \(3\) est un majorant de \(E\), mais \(3 \notin E\), donc \(E\) n'a pas de maximum. De même \(0\) est un minorant sans être le minimum.
Résumé
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).