Première D · Leçon 3
Généralités sur les fonctions
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Définition de la restriction d’une fonction
- Définition du prolongement d’une fonction
- Composition de deux fonctions
- Définition d’une application
- Définition de la bijection réciproque d’une bijection
- Représentation graphique de la bijection réciproque d’une bijection dans un repère orthonormé
- Comparaison de deux fonctions
- Opérations sur les fonctions numériques
- Somme, produit et quotient de deux fonctions
- Fonctions associées : 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ |𝑓(𝑥)|.
Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923
Prolongement et recollement par continuité
Il arrive souvent qu’une fonction soit donnée par une formule qui n’a pas de sens en un point précis, ou bien par plusieurs formules sur des intervalles différents. Dans ces situations, on cherche à savoir si l’on peut compléter la définition de la fonction sans créer de rupture. Le prolongement et le recollement par continuité servent précisément à construire une fonction continue à partir d’expressions partielles.
Soit une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D\), et soit \(E\) un ensemble tel que \(D \subset E\). On dit qu’une fonction \(g\) définie sur \(E\) est un prolongement de \(f\) à \(E\) lorsque, pour tout \(x \in D\), on a \(g(x)=f(x)\). Autrement dit, \(g\) coïncide avec \(f\) sur l’ensemble où \(f\) était déjà définie ; elle ajoute seulement de nouvelles valeurs sur \(E\setminus D\).
On parle de prolongement par continuité en un point \(a\) lorsque la fonction n’était pas définie en \(a\), mais qu’il existe une valeur à donner à \(f(a)\) pour obtenir une fonction continue en \(a\). En pratique, si les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent d’un même nombre \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), alors on définit la nouvelle fonction \(g\) par \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et \(g(a)=\ell\).
Le recollement par continuité concerne une fonction définie par morceaux. Supposons par exemple qu’une expression soit donnée à gauche d’un nombre \(a\), et une autre à droite. Recoler par continuité en \(a\), c’est choisir les valeurs au point de raccord, ou les paramètres éventuels, de sorte qu’il n’y ait pas de saut sur la courbe. Graphiquement, la courbe doit se rejoindre sans trou ni cassure au point d’abscisse \(a\).
1) Unicité du prolongement par continuité. S’il existe un prolongement par continuité d’une fonction en un point \(a\), alors ce prolongement est unique en ce point. En effet, la continuité impose nécessairement la valeur à donner : cette valeur doit être égale au nombre vers lequel \(f(x)\) tend quand \(x\) s’approche de \(a\). On ne peut donc pas choisir deux valeurs différentes.
2) Critère pratique de prolongement. Si, pour \(x\neq a\), on peut transformer l’expression de \(f(x)\) en une expression \(\varphi(x)\) définie et continue en \(a\), alors on obtient le prolongement par continuité en posant \(g(a)=\varphi(a)\). C’est le cas classique des formes du type \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\), qui se simplifient en \(x+3\) pour \(x\neq 3\).
3) Critère de recollement en un point. Si une fonction \(h\) est définie par une expression à gauche de \(a\) et une autre à droite de \(a\), alors pour que \(h\) soit continue en \(a\), il faut que les deux côtés donnent la même valeur au raccord. En termes usuels : la valeur obtenue à gauche, la valeur au point \(a\) s’il y en a une, et la valeur obtenue à droite doivent coïncider. Si l’une des deux expressions vaut \(2\) au raccord et l’autre \(5\), aucun recollement continu n’est possible.
Idée de justification. La continuité signifie qu’au voisinage de \(a\), les valeurs de la fonction restent proches d’une seule et même valeur. S’il y avait deux valeurs différentes selon le côté d’où l’on approche \(a\), la courbe présenterait une rupture ; on ne pourrait donc pas parler de continuité au point de raccord.
Pour prolonger une fonction par continuité en un point :
- Repère le point où la fonction n’est pas définie, par exemple \(a\).
- Travaille l’expression algébrique pour \(x\neq a\) : factorisation, simplification, mise sous une forme connue.
- Cherche la valeur que prendrait naturellement l’expression au point \(a\) si la simplification restait valable. Cette valeur est la seule candidate possible.
- Définis une nouvelle fonction \(g\) en gardant \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et en posant \(g(a)\) égal à la valeur trouvée.
- Conclue en expliquant pourquoi \(g\) est continue : le plus souvent, \(g\) coïncide alors avec une expression simple continue sur tout l’intervalle.
Pour recoller une fonction définie par morceaux :
- Repère le ou les points de raccord.
- Calcule la valeur donnée par l’expression de gauche au point de raccord, ou la valeur vers laquelle elle conduit.
- Calcule de même la valeur donnée par l’expression de droite.
- Impose l’égalité de ces valeurs. S’il y a un paramètre, on résout l’équation obtenue ; s’il y a plusieurs paramètres, on obtient souvent un système.
- Vérifie enfin que la fonction ainsi obtenue ne présente aucune rupture au point considéré.
Le réflexe essentiel est donc : au point de raccord, tout doit coïncider.
Énoncé. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\). Détermine un prolongement de \(f\) à \(\mathbb{R}\) qui soit continu en \(3\).
Solution : Pour \(x\neq 3\), on factorise le numérateur :
\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]
Donc, pour \(x\neq 3\),
\[f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]
Ainsi, sur son domaine de définition, la fonction \(f\) coïncide avec la fonction \(x\mapsto x+3\). Or cette dernière est définie et continue pour tout réel, en particulier en \(x=3\). On calcule alors la valeur à donner au point manquant :
\[3+3=6.\]
On définit donc la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par
\[g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3} & \text{si } x\neq 3,\\6 & \text{si } x=3.\end{cases}\]
Comme, pour tout réel \(x\), on a en réalité \(g(x)=x+3\), la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). C’est le prolongement par continuité de \(f\) en \(3\).
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Voir les offresErreur 1 : croire qu’un prolongement consiste à mettre n’importe quelle valeur au point manquant. C’est faux. Si \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq 1\), alors pour \(x\neq 1\), on a \(f(x)=x+1\). Le prolongement par continuité impose donc la valeur \(2\) en \(1\). Si tu définis au contraire \(g(1)=5\), tu obtiens bien un prolongement au sens large, mais pas un prolongement par continuité, car il reste une rupture en \(1\).
Erreur 2 : ne vérifier qu’un seul côté au point de raccord. Pour une fonction définie par morceaux, il faut comparer les deux côtés. Par exemple, si
\[u(x)=\begin{cases}x+1 & \text{si } x<0,\\x+2 & \text{si } x\ge 0,\end{cases}\]
alors à gauche de \(0\), on obtient \(1\), tandis qu’à droite et au point \(0\), on obtient \(2\). Les deux valeurs ne coïncident pas ; il y a donc un saut, et aucun recollement continu n’est possible avec cette définition.
Erreur 3 : simplifier une expression puis oublier la condition \(x\neq a\). Quand on écrit \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), cette égalité n’est valable que pour \(x\neq 3\). C’est seulement ensuite que l’on ajoute la valeur manquante pour construire le prolongement.
Un bon réflexe est de chercher si la difficulté vient seulement d’un facteur qui s’annule au dénominateur. Très souvent, une factorisation permet de faire apparaître une expression plus simple, définie au point problématique. Quand c’est le cas, cette expression simple donne immédiatement la valeur du prolongement par continuité.
Graphiquement, un prolongement par continuité correspond souvent à un trou sur une courbe que l’on peut combler par un seul point. Un recollement par continuité correspond à deux morceaux de courbe qui doivent se rejoindre exactement au point de raccord. Si tu vois un saut vertical ou une cassure, le recollement n’est pas continu.
Enfin, lorsqu’il y a plusieurs paramètres, pense à écrire une condition de continuité pour chaque point de raccord. On obtient alors une ou plusieurs équations à résoudre de façon organisée.
Composition d'applications et de fonctions
Si \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Applications : injection, surjection, bijection
Ces notions ne font pas l'objet d'un exposé détaillé en Première : elles sont étudiées de façon succincte, puis réinvesties toute l'année (fonctions numériques, transformations du plan).
Une application \(f:E\to F\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes (autrement dit, \(f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)). Elle est surjective si tout élément de \(F\) a au moins un antécédent. Elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) a alors exactement un antécédent.
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\) (d'inconnue \(x\)) dépend directement de la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective. Graphiquement, cela se lit sur le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y=k\).
Si \(f\) est bijective de \(E\) vers \(F\), sa réciproque \(f^{-1}\) est l'application de \(F\) vers \(E\) qui à chaque \(y\) associe l'unique \(x\) tel que \(f(x)=y\). Graphiquement, dans un repère orthonormé, la courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).
La composée \(g\circ f\) de deux applications se calcule en appliquant d'abord \(f\), puis \(g\) au résultat : \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Réciproque simple. \(f(x)=2x+3\) sur \(\mathbb R\) est bijective (droite non horizontale). Pour trouver \(f^{-1}\) : on pose \(y=2x+3\), on résout en \(x\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\). Donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\).
Composée. \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). Alors \((g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2\), tandis que \((f\circ g)(x)=g(x)+1=x^2+1\) : les deux composées sont différentes en général.
Figure interactive — Une fonction et sa réciproque
La courbe de \(f^{-1}\) (orange) est le symétrique de celle de \(f\) (navy) par rapport à la droite \(y=x\) (pointillés).
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Quand une fonction associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée, on peut parfois remonter le chemin : à partir de l’image, retrouver l’antécédent. C’est précisément le rôle de la fonction réciproque. Cette notion est très utile pour résoudre des équations du type \(f(x)=y\), et elle possède une traduction graphique remarquable : la courbe de la réciproque s’obtient par symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application \(f\) de \(E\) vers \(F\), notée \(f : E \to F\), associe à tout élément \(x\) de \(E\) un unique élément de \(F\), noté \(f(x)\). L’ensemble \(E\) est l’ensemble de départ et \(F\) l’ensemble d’arrivée.
L’application \(f\) est injective si deux éléments différents de \(E\) ont toujours des images différentes. Cela s’écrit : si \(f(x_1)=f(x_2)\), alors \(x_1=x_2\). Autrement dit, un même élément de \(F\) n’a jamais deux antécédents distincts.
L’application \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans \(E\). Cela signifie que l’ensemble d’arrivée est entièrement atteint par l’application.
L’application \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, chaque élément de \(F\) possède un unique antécédent dans \(E\).
Si \(f : E \to F\) est bijective, on définit sa fonction réciproque ou application réciproque, notée \(f^{-1} : F \to E\), par la règle suivante : pour tout \(y\) de \(F\), \(f^{-1}(y)\) est l’unique élément \(x\) de \(E\) tel que \(f(x)=y\). Le symbole \(f^{-1}\) ne désigne donc pas ici l’inverse multiplicatif, mais la fonction qui « défait » l’action de \(f\).
Dire que \(f^{-1}(y)=x\), c’est exactement dire que \(f(x)=y\). Les rôles de la variable de départ et de l’image sont échangés.
Si \(f : E \to F\) est bijective, alors sa réciproque \(f^{-1} : F \to E\) existe et elle est elle-même bijective. De plus, pour tout \(x\in E\) et pour tout \(y\in F\), on a les deux relations essentielles :
\[f^{-1}(f(x))=x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y))=y.\]
La première égalité signifie que si tu pars d’un élément \(x\), puis que tu appliques \(f\), puis la réciproque \(f^{-1}\), tu retrouves exactement \(x\). La seconde signifie qu’en partant d’un élément \(y\) de l’ensemble d’arrivée, puis en appliquant la réciproque, puis la fonction initiale, on retrouve \(y\).
Ces deux égalités justifient l’idée que \(f\) et \(f^{-1}\) s’annulent l’une l’autre pour l’enchaînement des calculs. Elles montrent aussi que les ensembles de définition et d’arrivée sont échangés : si \(f : E \to F\), alors \(f^{-1} : F \to E\).
Une conséquence importante est la suivante : pour qu’une fonction admette une réciproque sur un ensemble donné, il faut qu’elle soit bijective sur cet ensemble. Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\) n’est pas bijective sur \(\mathbb{R}\), car \(1\) et \(-1\) ont la même image. En revanche, si on la considère sur \([0,+\infty[\), elle devient bijective de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\), et sa réciproque est la fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\).
Supposons que \(f\) soit une bijection d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\), et que sa représentation graphique soit tracée dans un repère orthonormé. Alors la courbe représentative de \(f^{-1}\) est l’image de la courbe représentative de \(f\) par la symétrie d’axe la droite d’équation \(y=x\).
L’idée est simple. Si un point \(M(a,b)\) appartient à la courbe de \(f\), cela signifie que \(b=f(a)\). Comme \(f^{-1}(b)=a\), le point \(N(b,a)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\). Or les points \((a,b)\) et \((b,a)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\). On obtient donc toute la courbe de \(f^{-1}\) en échangeant l’abscisse et l’ordonnée de chaque point de la courbe de \(f\).
Cette propriété permet de contrôler graphiquement un résultat algébrique. Si tu trouves une expression pour \(f^{-1}\), tu peux vérifier qu’elle est cohérente en observant si sa courbe semble bien symétrique de celle de \(f\) par rapport à \(y=x\).
Attention : cette symétrie n’a de sens que pour une fonction qui admet réellement une réciproque sur l’ensemble étudié. Si la fonction n’est pas bijective, la « courbe symétrique » obtenue en échangeant les coordonnées peut ne pas représenter une fonction.
Pour déterminer la réciproque d’une fonction bijective, tu peux suivre les étapes suivantes :
- Vérifie d’abord que la fonction est bijective sur l’ensemble considéré. En pratique, il faut s’assurer que chaque image correspond à un unique antécédent et que toutes les valeurs de l’ensemble d’arrivée sont atteintes.
- Écris \(y=f(x)\). Cette égalité traduit la relation entre le nombre de départ \(x\) et son image \(y\).
- Résous cette égalité pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\). Il faut isoler \(x\) avec des transformations algébriques correctes.
- Remplace ensuite la lettre \(y\) par \(x\). L’expression obtenue est celle de \(f^{-1}(x)\). Ce changement de lettre est normal : la variable d’une fonction est une lettre muette.
- Vérifie ton résultat à l’aide des compositions : calcule \(f(f^{-1}(x))\) et \(f^{-1}(f(x))\) sur les ensembles adaptés. Tu dois retrouver \(x\).
Pour exploiter la représentation graphique : 1) repère quelques points de la courbe de \(f\) ; 2) échange leurs coordonnées ; 3) place les nouveaux points ; 4) la courbe obtenue est celle de \(f^{-1}\), symétrique de la première par rapport à \(y=x\).
Énoncé : Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=2x-3\). Montrer que \(f\) est bijective, puis déterminer \(f^{-1}\). Vérifier le résultat par composition.
Solution : La fonction \(f(x)=2x-3\) est une fonction affine de coefficient directeur \(2\), non nul. Quand \(x\) varie, les images varient sans répétition : la fonction est injective. De plus, pour tout réel \(y\), on peut chercher un réel \(x\) tel que \(2x-3=y\), donc la fonction atteint toute valeur réelle : elle est surjective. Elle est donc bijective.
Pour déterminer la réciproque, on pose \(y=2x-3\). On résout cette égalité en \(x\) :
\[y=2x-3\]
\[y+3=2x\]
\[x=\frac{y+3}{2}.\]
On remplace ensuite \(y\) par \(x\). On obtient :
\[f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.\]
Vérification par composition :
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\times \frac{x+3}{2}-3=x+3-3=x.\]
Et aussi :
\[f^{-1}(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.\]
Le résultat est donc correct. Graphiquement, la droite de \(f^{-1}\) est la symétrique de la droite de \(f\) par rapport à \(y=x\). Par exemple, comme le point \((1,-1)\) appartient à la courbe de \(f\) car \(f(1)=2\times1-3=-1\), le point \((-1,1)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\).
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Voir les offresUne erreur très fréquente consiste à croire que toute fonction possède une réciproque. C’est faux. Pour qu’une réciproque existe comme fonction, il faut que la fonction de départ soit bijective sur l’ensemble étudié. Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\) n’est pas injective, car \(f(2)=4\) et \(f(-2)=4\). Le nombre \(4\) a donc deux antécédents. On ne peut pas définir une fonction réciproque sur tout \(\mathbb{R}\), car il faudrait décider si l’image réciproque de \(4\) vaut \(2\) ou \(-2\).
Un autre piège est d’écrire sans précaution \(\sqrt{x^2}=x\) pour tout réel \(x\). En réalité, on a
\[\sqrt{x^2}=|x|.\]
Contre-exemple : si \(x=-3\), alors \(\sqrt{x^2}=\sqrt{9}=3\), qui n’est pas égal à \(-3\). Cette confusion conduit à de fausses vérifications de réciproque.
Enfin, il ne faut pas confondre \(f^{-1}(x)\) et \(\dfrac{1}{f(x)}\). Par exemple, si \(f(x)=2x-3\), alors \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\), tandis que \(\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x-3}\). Ce sont deux expressions totalement différentes.
Quand tu connais quelques points simples de la courbe d’une bijection, pense immédiatement à permuter les coordonnées. Si \((a,b)\) est sur la courbe de \(f\), alors \((b,a)\) est sur celle de \(f^{-1}\). C’est souvent le moyen le plus rapide pour tracer l’allure de la courbe réciproque sans refaire toute l’étude.
Tu peux aussi garder en mémoire ce réflexe algébrique : « image puis réciproque, ou réciproque puis image, redonne le nombre de départ ». Autrement dit, dès que tu trouves une expression de \(f^{-1}\), vérifie systématiquement les deux compositions. Cette habitude évite la plupart des erreurs de signe, de domaine ou de résolution.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
On rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
À partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :
• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\),
sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les
portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de
\(f\).
Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.
Résumé
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).