Première D · Leçon 1

Équations et inéquations du second degré dans ℝ

Ce que dit le programme officiel (17 points)

le discriminant d’un polynôme du second degré
le discriminant d’une équation du second degré
les formules donnant les zéros éventuels d’un polynôme du second degré
les formules donnant les solutions éventuelles d’une équation du second degré
l’expression de la somme des solutions éventuelles d’une équation du second degré
l’expression du produit des solutions éventuelles d’une équation du second degré
les règles donnant le signe d’un polynôme du second degré
la forme factorisée d’un polynôme du second degré connaissant ses zéros éventuels
un polynôme du second degré sous forme d’un produit de polynômes du premier degré en utilisant le discriminant
le signe d’un polynôme du second degré
une solution d’une équation du second degré en utilisant la somme ou le produit des solutions, l’autre étant donnée
deux nombres connaissant leur somme et leur produit
une équation du second degré en utilisant le discriminant
une inéquation du second degré en utilisant le discriminant
graphiquement une équation ou une inéquation du second degré
une équation du type : √𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ou une inéquation de l’un des types suivants : √𝑝(𝑥) ≤ 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) < 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) ≥ 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) > 𝑞(𝑥) où 𝑝 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 et 𝑞 un polynôme de degré inférieur ou égal à 1
des équations du type : 𝑎𝑥^4 + 𝑏𝑥^2 + 𝑐 = 0, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels

Source : Programme éducatif Première D, DPFC, version CND 0923

Équation du second degré : discriminant et racines

Rappel de Seconde

Théorème — Discriminant

Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).

Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,

\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]

Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).

Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.

Méthode — Plusieurs techniques disponibles

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Exemples gradués

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Somme et produit des racines d'un trinôme

Somme et produit des racines

Si \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) admet deux racines \(x_1\), \(x_2\), alors \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba\) et \(P=x_1x_2=\dfrac ca\).

Exemple. \(x^2-7x+12=0\) : \(S=7\), \(P=12\), donc les racines sont \(3\) et \(4\) (\(3+4=7\), \(3\times4=12\)).

Exemple — simplifier une fraction rationnelle

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Signe du trinôme et inéquations du second degré

Rappel de Seconde

Règle du signe

Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.

Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.

Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).

Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Résoudre une inéquation du second degré

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -2 \(c\) = -3

Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)

Vocabulaire

Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.

Rappel (vu en Seconde) — Racine et factorisation

Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).

Somme et produit des racines d'un trinôme

Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :

\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]

Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.

Méthode — Division euclidienne de deux polynômes

Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).

On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.

\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]

Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).

Exemples gradués — Factorisation

Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).

Équations et inéquations avec radicaux

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Méthode — Résoudre \(\sqrt{f(x)} = ax+b\)

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Méthode — Résoudre \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)

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Piège fréquent

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Figure — \(\sqrt{2x+3}=x\), une seule vraie solution

Les courbes \(y=\sqrt{2x+3}\) et \(y=x\) ne se croisent qu'en \(x=3\) : \(x=-1\), trouvé après élévation au carré, est une solution parasite (la droite \(y=x\) y est négative, incompatible avec une racine carrée).

Méthode — Résoudre \(\sqrt{f(x)} \le ax+b\)

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