Suites numériques

Exercice 1 — QCM

1) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=5$, $r=3$. La valeur de $u_{10}$ est :
a) $32$   b) $35$   c) $38$   d) $30$

2) $(u_n)$ est géométrique, $u_0=2$, $q=3$. La valeur de $u_5$ est :
a) $162$   b) $242$   c) $486$   d) $729$

3) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=1$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ ($10$ termes) vaut :
a) $90$   b) $55$   c) $110$   d) $100$

4) La suite $(v_n)$ définie par $v_n=(0{,}8)^n$ :
a) diverge vers $+\infty$   b) converge vers $0$   c) converge vers $1$   d) est périodique

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un jeune commerçant veut acheter un tricycle de transport dans $5$ ans, dès que son épargne atteindra $550\,000$ FCFA. Il dispose aujourd'hui de $400\,000$ FCFA et hésite entre deux structures de microfinance :

Option A : chaque année, l'épargne augmente d'un montant fixe de $30\,000$ FCFA (intérêt simple).
Option B : chaque année, l'épargne est multipliée par $1{,}06$ (intérêt composé à $6\,\%$). On donne $1{,}06^5\approx 1{,}3382$.

Consigne : Calculer le montant obtenu après $5$ ans dans chacune des deux options, puis conseiller au commerçant l'option qui lui permet d'atteindre son objectif de $550\,000$ FCFA.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.

Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une banque de développement finance un projet d'adduction d'eau. Le coût cumulé de maintenance (en millions de FCFA) après $n$ années de fonctionnement suit $C_n=8-6\times(0{,}5)^n$.

Consigne : Étudier la limite de $C_n$ quand $n\to+\infty$, et interpréter ce résultat pour le budget à long terme du projet : le coût cumulé se stabilise-t-il, et vers quelle valeur plafond ?

Partie A. $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=7$, $r=4$. 1) Calculer $u_1,u_2,u_3$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 2) Exprimer $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_{10}$.

Partie B. $(v_n)$ est géométrique, $v_0=3$, $q=2$. 3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et calculer $v_6$. 4) Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $T_6$.

Partie C. 5) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^n\geqslant n+1$.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac13u_n+4$.

1) On pose $v_n=u_n-6$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

4) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>5{,}99$.

Problème — Une plateforme de tutorat en ligne burkinabè suit trois indicateurs mensuels, $n$ désignant le nombre de mois depuis le lancement.

Partie A. Nombre d'inscriptions cumulées (en dizaines) : $u_n=6n^3-100$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$, en justifiant.

Partie B. Taux de rétention (en %) : $v_n=12-8\times(0{,}25)^n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$, en justifiant.

Partie C. Note de satisfaction (sur $10$) : $w_n=\dfrac1{n^2}+5$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, en justifiant.

Partie D. D'après les trois résultats précédents, lequel de ces indicateurs ne se stabilise jamais et continue de croître indéfiniment ? Lesquels se stabilisent, et vers quelles valeurs ?

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique définie sur \(\mathbb{N}\), de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). On sait que \(u_5=17\) et \(u_{12}=45\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\).

1) Calcule la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\).

2) Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\). Le nombre 2025 est-il un terme de la suite ? Et le nombre 2026 ? Justifie tes réponses.

3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(S_n=(n+1)(2n-3)\).

4) Détermine l'entier naturel \(n\) tel que \(S_n=1222\).

5) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(t_n=u_{n+1}^2-u_n^2\). Démontre que la suite \((t_n)\) est arithmétique ; précise sa raison et son premier terme.

6) Calcule la somme \(T=t_0+t_1+\dots+t_9\) de deux façons : avec la formule de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, puis en remarquant que, dans cette somme, les termes s'éliminent deux à deux.

Un groupement de tisserandes dispose de 200 000 francs et hésite entre deux placements.

Placement A, à intérêts simples au taux annuel de 12 % : chaque année, le capital augmente de 12 % de la somme placée au départ.

Placement B, à intérêts composés au taux annuel de 10 % : chaque année, le capital augmente de 10 % de la valeur qu'il avait l'année précédente.

On note \(a_n\) et \(b_n\) les capitaux, en francs, obtenus au bout de \(n\) années avec les placements A et B. Ainsi \(a_0=b_0=200\,000\).

1) Exprime \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_n\), puis \(b_{n+1}\) en fonction de \(b_n\). Déduis-en la nature de chacune des deux suites, puis l'expression de \(a_n\) et de \(b_n\) en fonction de \(n\).

2) Calcule \(a_4\), \(b_4\), \(a_5\) et \(b_5\). Quel est le placement le plus avantageux pour une durée de 4 ans ? pour une durée de 5 ans ?

3) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n=b_n-a_n\). Démontre que \(d_{n+1}-d_n=0{,}1\,b_n-24\,000\).

4) Justifie que la suite \((b_n)\) est croissante, puis que \(d_{n+1}-d_n\gt 0\) pour tout entier \(n\geq 5\). Déduis-en que le placement B est le plus avantageux pour toute durée d'au moins 5 ans.

5) Au bout de combien d'années entières le capital a-t-il au moins doublé avec le placement A ? Et avec le placement B ? Justifie.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=-2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\).

1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). Démontre que la suite \((u_n)\) n'est ni arithmétique ni géométrique.

2) Résous l'équation \(x=\dfrac{1}{2}x+3\) ; on note \(\ell\) sa solution. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-\ell\). Démontre que la suite \((v_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.

3) Exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\). Déduis-en que \(u_n\lt 6\) pour tout entier naturel \(n\).

4) Démontre que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

5) On pose \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\). Démontre que \(S_n=6n-10+16\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\), puis calcule \(S_3\) et \(S_7\).

6) Détermine le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(6-u_n\lt 0{,}01\). Justifie que l'inégalité reste vraie pour tous les rangs suivants.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{4n-5}{n+1}\), et la fonction \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}\), de sorte que \(u_n=f(n)\).

1) Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifie.

2) Calcule la dérivée \(f'(x)\) et donne le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\). Déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\).

3) Retrouve ce sens de variation par une autre méthode, en démontrant que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9}{(n+1)(n+2)}\).

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=4-\dfrac{9}{n+1}\). Déduis-en que \(-5\leq u_n\lt 4\) pour tout \(n\), puis détermine tous les entiers naturels \(n\) tels que \(u_n\geq 3\).

5) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(w_n=\dfrac{1}{4-u_n}\). Démontre que la suite \((w_n)\) est arithmétique, puis calcule la somme \(w_0+w_1+\dots+w_{17}\).