Première D · Leçon 11
Probabilité
Exercices corrigés
Un dé équilibré : réunion et contraire
On lance un dé équilibré à six faces. On note \(A\) l'événement « obtenir un nombre pair » et \(B\) l'événement « obtenir un multiple de \(3\) ».
1) Donne l'univers \(\Omega\) et son cardinal, et justifie l'équiprobabilité.
2) Écris \(A\) et \(B\) comme des parties de \(\Omega\), puis calcule \(p(A)\) et \(p(B)\).
3) Détermine \(A\cap B\), puis calcule \(p(A\cup B)\) de deux façons.
4) Calcule la probabilité de n'obtenir ni un nombre pair ni un multiple de \(3\).
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- 1) Les issues possibles sont les six faces : \(\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\), donc \(\operatorname{card}(\Omega)=6\). Le dé est équilibré, donc les six faces ont la même probabilité \(\dfrac16\) : il y a équiprobabilité.
- 2) \(A=\{2\,;4\,;6\}\) et \(B=\{3\,;6\}\). Par équiprobabilité, \(p(A)=\dfrac36=\dfrac12\) et \(p(B)=\dfrac26=\dfrac13\).
- 3) \(A\cap B=\{6\}\), donc \(p(A\cap B)=\dfrac16\). Avec la formule : \(p(A\cup B)=\dfrac12+\dfrac13-\dfrac16=\dfrac36+\dfrac26-\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23\). Directement : \(A\cup B=\{2\,;3\,;4\,;6\}\) contient \(4\) éventualités, donc \(p(A\cup B)=\dfrac46=\dfrac23\) ; les deux méthodes concordent.
- 4) N'obtenir ni un nombre pair ni un multiple de \(3\), c'est réaliser le contraire de \(A\cup B\). Donc \(p(\overline{A\cup B})=1-\dfrac23=\dfrac13\). Contrôle : \(\overline{A\cup B}=\{1\,;5\}\), et \(\dfrac26=\dfrac13\).
Réponse : \(p(A)=\dfrac12\), \(p(B)=\dfrac13\), \(p(A\cup B)=\dfrac23\), \(p(\overline{A\cup B})=\dfrac13\).
Boules rouges et vertes numérotées
Une urne contient \(4\) boules rouges numérotées \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) et \(2\) boules vertes numérotées \(1\), \(2\), indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. On note \(R\) l'événement « la boule est rouge » et \(N\) l'événement « la boule porte le numéro \(1\) ».
1) Combien l'univers compte-t-il d'éventualités ? Pourquoi y a-t-il équiprobabilité ?
2) Calcule \(p(R)\) et \(p(N)\).
3) Décris l'événement \(R\cap N\) et calcule \(p(R\cup N)\).
4) Décris l'événement contraire de \(R\cup N\) et vérifie ta réponse à la question 3.
Voir le corrigé
- 1) Chaque boule est une éventualité : il y en a \(4+2=6\). Les boules sont indiscernables au toucher et tirées au hasard, donc chacune a la même probabilité \(\dfrac16\) : il y a équiprobabilité.
- 2) \(4\) boules sont rouges, donc \(p(R)=\dfrac46=\dfrac23\). Deux boules portent le numéro \(1\) (la rouge n°1 et la verte n°1), donc \(p(N)=\dfrac26=\dfrac13\).
- 3) \(R\cap N\) est l'événement « tirer la boule rouge numéro \(1\) », donc \(p(R\cap N)=\dfrac16\). Alors \(p(R\cup N)=p(R)+p(N)-p(R\cap N)=\dfrac46+\dfrac26-\dfrac16=\dfrac56\).
- 4) Le contraire de \(R\cup N\) est « la boule n'est pas rouge et ne porte pas le numéro \(1\) », c'est-à-dire « tirer la boule verte numéro \(2\) ». Sa probabilité est \(\dfrac16\), et on vérifie bien \(1-\dfrac56=\dfrac16\).
Réponse : \(p(R)=\dfrac23\), \(p(N)=\dfrac13\), \(p(R\cup N)=\dfrac56\) ; le contraire est « boule verte n°2 », de probabilité \(\dfrac16\).
Tirage simultané de trois boules
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(4\) boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément \(3\) boules de l'urne.
1) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2) Calcule la probabilité de l'événement \(A\) « obtenir trois boules rouges ».
3) Calcule la probabilité de l'événement \(B\) « obtenir exactement deux boules rouges ».
4) Calcule la probabilité de l'événement \(C\) « obtenir au moins une boule noire ».
Deux dés : sommes et doubles
On lance deux dés équilibrés, un rouge et un bleu. On note \(S\) l'événement « la somme des deux faces est égale à \(7\) » et \(D\) l'événement « les deux faces sont identiques » (on obtient un double).
1) Combien l'univers compte-t-il d'issues ? Justifie l'équiprobabilité.
2) Calcule \(p(S)\) et \(p(D)\).
3) Les événements \(S\) et \(D\) sont-ils incompatibles ? Justifie.
4) Calcule la probabilité d'obtenir une somme égale à \(7\) ou un double.
Un dé truqué
Un dé à six faces est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir la face \(k\) soit proportionnelle à \(k\) : il existe un réel \(a\) tel que \(p(\{k\})=ka\) pour \(k=1,2,\ldots,6\).
1) Détermine \(a\), puis la probabilité de chaque face.
2) Calcule la probabilité de l'événement \(A\) « obtenir un nombre pair ».
3) Calcule la probabilité de l'événement \(B\) « obtenir un nombre supérieur ou égal à \(4\) ».
4) Calcule \(p(A\cap B)\) et \(p(A\cup B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils incompatibles ?
Un club sportif : réunion, intersection et événement contraire
Un club sportif compte 40 adhérents. Parmi eux, 22 pratiquent la natation, 16 pratiquent l'athlétisme et 10 ne pratiquent aucun de ces deux sports. On choisit au hasard un adhérent du club : chaque adhérent a la même chance d'être choisi. On note \(N\) l'événement « l'adhérent pratique la natation » et \(A\) l'événement « l'adhérent pratique l'athlétisme ».
1) Précise l'univers de cette expérience et justifie que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. Calcule \(p(N)\), \(p(A)\) et la probabilité que l'adhérent ne pratique aucun des deux sports.
2) Décris par une phrase l'événement \(N\cup A\), puis calcule \(p(N\cup A)\) à l'aide d'un événement contraire.
3) Calcule \(p(N\cap A)\). Les événements \(N\) et \(A\) sont-ils incompatibles ? Justifie.
4) Calcule la probabilité que l'adhérent choisi pratique un seul des deux sports.
5) On choisit maintenant simultanément deux adhérents au hasard, tous les choix de deux adhérents ayant la même probabilité. Combien y a-t-il de choix possibles ? Calcule la probabilité que les deux adhérents choisis pratiquent la natation.
6) Dans cette même expérience, calcule la probabilité qu'au moins un des deux adhérents choisis ne pratique aucun des deux sports.
Une probabilité sans équiprobabilité, définie par une suite arithmétique
Une expérience aléatoire a pour univers \(\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\}\). Pour chaque entier \(k\) de \(\Omega\), on note \(p_k\) la probabilité de l'événement élémentaire \(\{k\}\). On sait que les nombres \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\), \(p_5\), pris dans cet ordre, sont cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison \(r\), et que \(p_5=3p_1\).
1) Que vaut la somme \(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5\) ? Justifie. Déduis-en \(p_1\), \(p_5\) et la raison \(r\).
2) Calcule \(p_2\), \(p_3\) et \(p_4\). Est-on dans une situation d'équiprobabilité ? Justifie.
3) On note \(A\) l'événement « le résultat est pair » et \(B\) l'événement « le résultat est supérieur ou égal à 3 ». Écris \(A\) et \(B\) sous forme d'ensembles, puis calcule \(p(A)\) et \(p(B)\).
4) Détermine l'événement \(A\cap B\) et sa probabilité. Calcule \(p(A\cup B)\) à l'aide d'une formule du cours, puis contrôle ton résultat en additionnant les probabilités des éventualités de \(A\cup B\).
5) Détermine l'événement contraire de \(A\cup B\) et sa probabilité. On note \(C\) l'événement « le résultat est impair et strictement inférieur à 4 ». Démontre que \(A\) et \(C\) sont incompatibles, puis calcule \(p(A\cup C)\).
Le podium d'une course : cas possibles et cas favorables
Huit athlètes de même niveau participent à la finale d'une course ; trois d'entre eux appartiennent au même club, appelé ici le club local. Il n'y a pas d'ex æquo. On s'intéresse au podium, c'est-à-dire à la liste ordonnée du premier, du deuxième et du troisième. On admet que tous les podiums possibles ont la même probabilité.
1) Combien de podiums sont possibles ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.
2) Calcule la probabilité de l'événement \(A\) : « les trois places du podium sont occupées par les athlètes du club local ».
3) Calcule la probabilité de l'événement \(B\) : « aucun athlète du club local n'est sur le podium ». Déduis-en la probabilité qu'au moins un athlète du club local soit sur le podium.
4) Calcule la probabilité de l'événement \(C\) : « le vainqueur de la course appartient au club local ».
5) Calcule la probabilité de l'événement \(D\) : « exactement un athlète du club local est sur le podium ».
6) Décris par une phrase l'événement \(C\cap D\) et calcule sa probabilité. Les événements \(C\) et \(D\) sont-ils incompatibles ? Calcule \(p(C\cup D)\).
Répondre au hasard à un questionnaire à choix multiple
Un questionnaire comporte 4 questions. Pour chaque question, 3 réponses sont proposées et une seule est juste. Un élève qui n'a pas appris sa leçon coche au hasard une réponse, et une seule, à chacune des 4 questions. Une façon de remplir le questionnaire est la liste ordonnée des 4 réponses cochées ; on admet que toutes ces listes ont la même probabilité.
1) Combien y a-t-il de façons de remplir le questionnaire ? Justifie.
2) Calcule la probabilité que l'élève ait les 4 réponses justes.
3) Calcule la probabilité que l'élève n'ait aucune réponse juste, puis la probabilité qu'il en ait au moins une.
4) Calcule la probabilité que l'élève ait exactement une réponse juste, puis la probabilité qu'il ait exactement deux réponses justes.
5) Déduis-en la probabilité que l'élève ait au moins deux réponses justes. Est-il plus probable qu'il obtienne au moins deux réponses justes ou qu'il en obtienne moins de deux ? Interprète ce résultat.