Orthogonalité dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$   b) colinéaires   c) égaux   d) coplanaires seulement

2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$   b) $34$   c) $10$   d) $\sqrt{10}$

3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$   b) $(3;1;2)$   c) $(-3;-1;2)$   d) $(3;-1;-2)$

4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$   b) parallèles   c) confondus   d) ni perpendiculaires ni parallèles

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.

1) Calculer la distance $AB$.

2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.

3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.

4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit : \(ABCD\) et \(EFGH\) sont deux faces opposées, \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont des arêtes et toutes les faces sont des rectangles. La face \(ABCD\) est un carré de côté 4 et \(AE=6\). On note \(O\) le centre du carré \(ABCD\) et \(O'\) le centre du carré \(EFGH\).

1) Démontre que la droite \((BD)\) est orthogonale au plan \((ACG)\).

2) Déduis-en que les droites \((BD)\) et \((AG)\) sont orthogonales, puis que les plans \((BDH)\) et \((ACG)\) sont perpendiculaires.

3) Détermine, en justifiant, le projeté orthogonal du point \(B\) sur le plan \((ACG)\), puis calcule la distance du point \(B\) à ce plan.

4) Démontre que la droite \((FH)\) est orthogonale au plan \((ACG)\) et précise le projeté orthogonal du point \(F\) sur ce plan. On note \(K\) le milieu de \([BF]\) : détermine son projeté orthogonal \(L\) sur le plan \((ACG)\), puis la distance de \(K\) à ce plan.

5) Justifie que \(ACGE\) est un rectangle et calcule son aire. Déduis-en le volume de la pyramide de sommet \(B\) et de base \(ACGE\), puis compare-le au volume du pavé. On rappelle que le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Sur une terrasse horizontale, assimilée à un plan \((P)\), on installe un panneau solaire rectangulaire \(ABCD\) tel que \(AB=2{,}5\) mètres et \(AD=1{,}6\) mètre. Le côté \([AB]\) est posé sur la terrasse et les sommets \(C\) et \(D\) sont tous les deux à \(0{,}8\) mètre au-dessus de la terrasse. On note \(D'\) et \(C'\) les projetés orthogonaux respectifs de \(D\) et de \(C\) sur le plan \((P)\).

1) Justifie que le triangle \(ADD'\) est rectangle en \(D'\), puis calcule la valeur exacte de \(AD'\) et la mesure de l'angle \(\widehat{D'AD}\), qui est l'inclinaison du panneau.

2) Démontre que la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((ADD')\). Déduis-en que les droites \((AB)\) et \((AD')\) sont perpendiculaires.

3) Démontre que \(DD'C'C\) est un parallélogramme, puis que \(ABC'D'\) est un rectangle. Quand le soleil est à la verticale, l'ombre du panneau sur la terrasse est ce rectangle : calcule son aire et compare-la à l'aire du panneau.

4) Démontre que le plan \((ADD')\) est perpendiculaire au plan \((P)\) et au plan \((ABC)\) du panneau.

5) On note \(M\) le centre du panneau. Détermine son projeté orthogonal \(M'\) sur le plan \((P)\) et la distance de \(M\) à ce plan. Interprète ce résultat pour un pied vertical qui soutiendrait le panneau en son centre.

\(ABCD\) est un tétraèdre régulier d'arête 6 : ses quatre faces \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) et \(BCD\) sont des triangles équilatéraux de côté 6. On note \(I\) le milieu de \([CD]\) et \(G\) le centre de gravité du triangle \(BCD\).

1) Démontre que la droite \((CD)\) est orthogonale au plan \((ABI)\). Déduis-en que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales et que les plans \((ABI)\) et \((BCD)\) sont perpendiculaires.

2) Justifie que \(G\) appartient au segment \([BI]\), puis calcule les longueurs \(BI\), \(BG\) et \(GI\).

3) Démontre que la droite \((AG)\) est orthogonale à la droite \((CD)\). En utilisant le milieu \(J\) de \([BC]\), démontre de même que \((AG)\) est orthogonale à \((BC)\). Que peux-tu en conclure pour la droite \((AG)\) et le plan \((BCD)\), puis pour le point \(G\) ?

4) Calcule la distance du point \(A\) au plan \((BCD)\), puis contrôle ce résultat dans le triangle \(AGI\).

5) Calcule l'aire du triangle \(BCD\), puis le volume du tétraèdre \(ABCD\). On rappelle que le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

\(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\) dont la base \(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB=6\) et \(AD=2\). La droite \((SA)\) est orthogonale au plan \((ABC)\) et \(SA=3\). On note \(M\) le milieu de l'arête \([SC]\) et \(O\) le centre du rectangle \(ABCD\).

1) Démontre que la droite \((BC)\) est orthogonale au plan \((SAB)\). Déduis-en que le triangle \(SBC\) est rectangle en \(B\) et que les plans \((SBC)\) et \((SAB)\) sont perpendiculaires.

2) Démontre de la même façon que le triangle \(SDC\) est rectangle en \(D\). Calcule les longueurs \(SB\), \(SD\), \(AC\) et \(SC\), puis contrôle la valeur de \(SC\) dans les triangles \(SBC\) et \(SDC\).

3) Démontre que \(MA=MB=MC=MD=MS\) et donne cette longueur commune. Interprète ce résultat.

4) Détermine le projeté orthogonal du point \(M\) sur le plan \((ABC)\), puis la distance de \(M\) à ce plan.

5) Détermine les projetés orthogonaux des points \(C\) et \(M\) sur le plan \((SAB)\), puis la distance de \(M\) à ce plan.