Limites et continuité

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+3}{x-1}$ vaut :
a) $4$   b) $-3$   c) $0$   d) $+\infty$

2) Soit $g(x)=\dfrac5{x+2}$. La courbe de $g$ admet pour asymptote verticale la droite :
a) $x=2$   b) $x=-2$   c) $y=5$   d) $y=0$

3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(7-\dfrac3{x^2}\right)$ vaut :
a) $7$   b) $-3$   c) $4$   d) $+\infty$

4) Pour $x>0$, on a $|h(x)-2|\leqslant\dfrac4x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac4x=0$. On en déduit :
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=2$   b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=4$   c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$   d) on ne peut rien conclure

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une unité de transformation de karité a un coût moyen de production, en milliers de FCFA par kilogramme, modélisé par $C(x)=\dfrac{500+3x}{x+2}$, où $x$ est la quantité produite en tonnes, $x\in\;]0;+\infty[$.

Le gérant de l'unité envisage d'augmenter fortement la production et veut savoir si le coût moyen peut descendre indéfiniment, ou s'il existe un plancher que le coût ne pourra jamais franchir, même pour une très grande quantité produite.

Consigne : Réécrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+2}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$ et l'interpréter, puis étudier le signe de $C(x)-a$ pour dire si le coût moyen peut atteindre ou passer sous ce seuil pour une valeur finie de $x$.

Exercice supplémentaire. Un artisan dispose de barres de fer dont la longueur $x$ (en mètres) vérifie $2\le x\le5$.

1) Donner un majorant et un minorant de cet ensemble de longueurs.
2) Deux barres de longueurs $x_1$ et $x_2$ vérifient les mêmes contraintes : encadrer $x_1+x_2$ puis $x_1-x_2$.
3) L'artisan affirme que $|x_1-x_2|$ ne dépasse jamais $3$ m. A-t-il raison ?

Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.

Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?

2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.

3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.

Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.

Soit \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\) différent de \(-3\) et de 4, par \[f(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{x^2-x-12}.\] On note \(N(x)=2x^2+ax+b\) son numérateur.

1) Factorise \(x^2-x-12\), puis calcule en 4 la limite du dénominateur et celle de \(N(x)\). Démontre que, si \(f\) admet une limite finie en 4, alors \(4a+b=-32\).

2) On suppose désormais que \(b=-4a-32\). Démontre que \(N(x)=(x-4)(2x+a+8)\) pour tout réel \(x\), puis que \(f(x)=\dfrac{2x+a+8}{x+3}\) pour tout réel \(x\) différent de \(-3\) et de 4. Exprime alors la limite de \(f\) en 4 en fonction de \(a\).

3) Détermine les réels \(a\) et \(b\) pour lesquels la limite de \(f\) en 4 est égale à 3. Dans toute la suite, \(a\) et \(b\) ont ces valeurs.

4) Soit \(m\) un réel. On définit la fonction \(g\), pour tout réel \(x\) différent de \(-3\), par \(g(x)=f(x)\) si \(x\neq 4\) et \(g(4)=m\). Pour quelle valeur de \(m\) la fonction \(g\) est-elle continue en 4 ? Justifie ta réponse.

5) Démontre que, pour tout \(x\) de l'intervalle \([3\,;5]\) différent de 4, \(|f(x)-3|\leq\dfrac{1}{6}|x-4|\). Explique comment cette majoration permet de retrouver la limite de \(f\) en 4, puis donne un intervalle ouvert de centre 4 sur lequel, pour tout \(x\neq 4\), le nombre \(f(x)\) est à moins de \(0{,}001\) de 3.

Un patient reçoit un médicament par perfusion pendant 2 heures, puis la perfusion est arrêtée. On note \(c(t)\) la concentration du médicament dans son sang, en milligrammes par litre, à l'instant \(t\) exprimé en heures, avec \(0\leq t\leq 12\). On admet que \(c(t)=a\,t(8-t)\) si \(0\leq t\leq 2\) et que \(c(t)=\dfrac{30}{t+3}\) si \(2\lt t\leq 12\), où \(a\) est un réel.

1) Calcule la limite à droite de \(c\) en 2, puis exprime en fonction de \(a\) le nombre \(c(2)\) et la limite à gauche de \(c\) en 2. La concentration ne peut pas varier brusquement à l'arrêt de la perfusion : détermine \(a\) pour que \(c\) soit continue en 2. Dans la suite, \(a\) a cette valeur.

2) Soit \(t\) et \(u\) deux instants tels que \(t\lt u\). Démontre que, s'ils sont dans \([0\,;2]\), alors \(c(u)-c(t)=\dfrac{1}{2}(u-t)(8-t-u)\), et déduis-en que \(c\) est strictement croissante sur \([0\,;2]\). Démontre ensuite que \(c\) est strictement décroissante sur \([2\,;12]\). Quelle est la concentration maximale ? Quelle est la concentration à l'instant 12 ?

3) Le médicament est efficace lorsque \(c(t)\geq 4\). Résous cette inéquation dans \([0\,;2]\), puis dans \(]2\,;12]\). Pendant combien de temps le médicament est-il efficace ? Donne la valeur exacte en heures, puis une valeur arrondie à la minute.

4) À l'instant 12, le patient reçoit une injection rapide et l'on suit la concentration jusqu'à l'instant 24 : on admet que \(c(t)=\dfrac{75}{t+3}\) si \(12\lt t\leq 24\). Calcule la limite à gauche et la limite à droite de \(c\) en 12. La fonction \(c\) est-elle continue en 12 ? Interprète ce résultat.

5) Jusqu'à quel instant de \(]12\,;24]\) le médicament est-il de nouveau efficace ? Démontre enfin que, sur \([0\,;24]\), la concentration ne dépasse jamais 6 milligrammes par litre.

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=3-x\) si \(x\leq -1\) ; \(f(x)=ax^2+bx+c\) si \(-1\lt x\lt 2\) ; \(f(2)=7\) ; \(f(x)=\dfrac{x^2+3x-10}{x-2}\) si \(x\gt 2\).

1) Factorise \(x^2+3x-10\), puis calcule la limite à droite de \(f\) en 2. Calcule aussi \(f(-1)\) et la limite à gauche de \(f\) en \(-1\).

2) Exprime en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\) la limite à droite de \(f\) en \(-1\) et la limite à gauche de \(f\) en 2. Déduis-en que \(f\) est continue en \(-1\) et en 2 si, et seulement si, \(a-b+c=4\) et \(4a+2b+c=7\).

3) On impose de plus \(f(1)=0\). Écris le système de trois équations vérifié par \(a\), \(b\) et \(c\), puis résous-le.

4) Dans cette question et la suivante, \(a\), \(b\) et \(c\) ont les valeurs trouvées. Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)\geq -\dfrac{4}{3}\), et précise pour quelle valeur de \(x\) il y a égalité. Que représente le nombre \(-\dfrac{4}{3}\) pour la fonction \(f\) ?

5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=4\), en étudiant séparément chacun des morceaux.

Une noix de coco se détache d'un cocotier et tombe verticalement. On admet que, \(t\) secondes après s'être détachée, elle a parcouru la distance \(d(t)=5t^2\), exprimée en mètres, et qu'elle touche le sol à l'instant \(t=2\). Pour un instant \(p\) de \([0\,;2]\) et un réel \(h\) non nul tel que \(p+h\) soit dans \([0\,;2]\), la vitesse moyenne de la noix entre les instants \(p\) et \(p+h\) est \(v_p(h)=\dfrac{d(p+h)-d(p)}{h}\), en mètres par seconde.

1) De quelle hauteur la noix tombe-t-elle ? Calcule sa vitesse moyenne sur l'ensemble de la chute.

2) On prend \(p=1\). Démontre que, pour tout réel \(h\) non nul de \([-1\,;1]\), \(v_1(h)=10+5h\). La fonction \(v_1\) est-elle définie en 0 ? Calcule \(v_1(0{,}1)\), \(v_1(0{,}01)\) et \(v_1(-0{,}01)\).

3) Calcule la limite de \(v_1\) en 0 et interprète-la pour la noix de coco. Pour quelles valeurs de \(h\) la vitesse moyenne \(v_1(h)\) est-elle à moins de \(0{,}01\) mètre par seconde de cette limite ?

4) Soit \(p\) un instant quelconque de \([0\,;2]\). Démontre que \(v_p(h)=10p+5h\), puis donne la limite de \(v_p\) en 0 ; on la note \(V(p)\) et on l'appelle vitesse instantanée à l'instant \(p\). Pour \(p=2\), explique pourquoi seule une limite à gauche a un sens, puis donne la vitesse de la noix quand elle touche le sol, en mètres par seconde et en kilomètres par heure.

5) Soit \(p\) et \(q\) deux instants de \([0\,;2]\) tels que \(p\lt q\). Démontre que la vitesse moyenne entre les instants \(p\) et \(q\) est égale à la vitesse instantanée à l'instant milieu \(\dfrac{p+q}{2}\). À quel instant la vitesse instantanée est-elle égale à la vitesse moyenne sur l'ensemble de la chute ? À quelle hauteur au-dessus du sol la noix se trouve-t-elle alors ?