Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. L'application $f$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:[0;+\infty[\to[0;+\infty[$, $g(x)=x^2$. L'application $g$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Le polynôme $P(x)=x^3-3x^2+4$ admet $x=-1$ pour racine. Après division euclidienne par $(x+1)$, le quotient est :
a) $x^2-2x+2$   b) $x^2-4x+4$   c) $x^2-2x-4$   d) $x^2+2x-4$

4) Le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $x_1$ et $x_2$. La valeur de $x_1+x_2$ est :
a) $-7$   b) $7$   c) $10$   d) $-10$

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2-3\).

1) Calcule \(g\circ f(1)\) et \(f\circ g(1)\).

2) Détermine l'expression de \(g\circ f(x)\) et celle de \(f\circ g(x)\).

3) A-t-on \(g\circ f=f\circ g\) ? Justifie.

4) Écris la fonction \(h(x)=\sqrt{3x-2}\) comme la composée de deux fonctions simples, et donne son ensemble de définition.

1) Montre que l'application \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(x\mapsto3x-5\), est bijective et détermine sa réciproque.

2) Montre que l'application \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(x\mapsto x^2+1\), n'est ni injective ni surjective.

3) Montre que la restriction \(h:[0\,;+\infty[\to[1\,;+\infty[\), \(x\mapsto x^2+1\), est bijective et détermine \(h^{-1}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(E=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\) par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\).

1) Montre que, pour tout \(x\) de \(E\), \(f(x)\neq2\).

2) Montre que \(f\) est une bijection de \(E\) sur \(F=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) et détermine \(f^{-1}\).

3) Vérifie que \(f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\) pour tout \(x\) de \(F\).

4) Le point \(A\left(0\,;-\dfrac13\right)\) appartient à la courbe de \(f\). Quel point de la courbe de \(f^{-1}\) lui correspond ? Justifie.

On note \(\mathcal{P}\) la courbe de la fonction carré \(x\mapsto x^2\) dans un repère orthonormé.

1) Explique comment obtenir la courbe de \(g(x)=(x-2)^2+1\) à partir de \(\mathcal{P}\), et donne le sens de variation de \(g\).

2) Soit \(h(x)=\left|x^2-4\right|\). Donne l'expression de \(h(x)\) sans valeur absolue selon les valeurs de \(x\), puis explique comment obtenir sa courbe.

3) On pose \(u(x)=x^2+1\) et \(v(X)=\dfrac1X\). Exprime \(k=v\circ u\), puis déduis-en le sens de variation de \(k\) sur \([0\,;+\infty[\) sans calculer de dérivée.

1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq1\). Simplifie \(f(x)\), calcule \(\lim\limits_{x\to1}f(x)\) et donne le prolongement par continuité de \(f\) en \(1\).

2) Soit \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\) pour \(x\ge-3\) et \(x\neq1\). En multipliant par la quantité conjuguée, calcule \(\lim\limits_{x\to1}g(x)\) et déduis-en que \(g\) admet un prolongement par continuité en \(1\).

3) Soit \(a\) un réel et \(k\) la fonction définie par \(k(x)=x^2+a\) si \(x\le1\) et \(k(x)=2x+1\) si \(x\gt 1\). Détermine \(a\) pour que \(k\) soit continue en \(1\).

Une coopérative de transport livre des colis. Pour une distance de \(x\) kilomètres comprise entre 0 et 50, le prix de la livraison, en francs, est \(p(x)=300x+1000\). La fonction \(p\) est donc définie sur l'intervalle \([0\,;50]\).

1) Calcule \(p(20)\) et \(p(50)\). Détermine l'antécédent de \(13\,000\) par \(p\) et interprète-le.

2) La coopérative décide de livrer aussi au-delà de 50 km, au prix de \(200x+b\) francs pour \(x\gt 50\), où \(b\) est un réel. Détermine \(b\) pour que cette formule donne, pour \(x=50\), le même prix que \(p(50)\). On note alors \(P\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(P(x)=300x+1000\) si \(0\leq x\leq 50\) et \(P(x)=200x+b\) si \(x\gt 50\). Justifie que \(P\) est un prolongement de \(p\), puis calcule \(P(80)\).

3) Soit \(y\) un réel de l'intervalle \([1000\,;+\infty[\). Démontre que \(y\) a un unique antécédent par \(P\) dans \([0\,;+\infty[\), en distinguant les cas \(y\leq 16\,000\) et \(y\gt 16\,000\). Déduis-en que \(P\) est une bijection de \([0\,;+\infty[\) dans \([1000\,;+\infty[\) et donne l'expression de \(P^{-1}(y)\).

4) Calcule \(P^{-1}(10\,000)\) et \(P^{-1}(25\,000)\). Que représentent ces deux nombres ?

5) Les adhérents de la coopérative bénéficient d'une remise de 10 % : un prix de \(y\) francs devient \(r(y)=0{,}9y\) francs. Donne l'expression de \(r\circ P(x)\) sur chacun des intervalles \([0\,;50]\) et \(]50\,;+\infty[\), puis calcule \(r\circ P(80)\).

6) Un adhérent dispose de \(18\,000\) francs. Jusqu'à quelle distance peut-il faire livrer un colis ? Justifie.

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\). On note \(u\) la fonction racine carrée, définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(u(x)=\sqrt{x}\), et \((C)\) sa courbe. On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{x+4}-2\) et sa courbe \((C_f)\). Aucune figure n'est demandée : tu décriras chaque courbe par une transformation.

1) Donne l'ensemble de définition de \(f\). Écris \(f(x)\) à l'aide de \(u\), puis indique la translation qui transforme \((C)\) en \((C_f)\) et les coordonnées du point \(S\), image de \(O\) par cette translation.

2) Résous l'équation \(f(x)=0\), puis étudie le signe de \(f(x)\). Explique comment on obtient la courbe de la fonction \(x\mapsto |f(x)|\) à partir de \((C_f)\).

3) Résous l'équation \(|f(x)|=1\), puis l'équation \(|f(x)|=3\). Explique pourquoi la seconde n'a qu'une seule solution.

4) On considère les fonctions \(h : x\mapsto f(-x)\), \(k : x\mapsto -f(x)\) et \(\ell : x\mapsto -f(-x)\). Pour chacune, donne son expression, son ensemble de définition, la transformation qui fait passer de \((C_f)\) à sa courbe et les coordonnées de l'image du point \(S\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\geq -4\), on a \(f(x)\leq \dfrac{x}{4}\), et précise pour quelle valeur de \(x\) il y a égalité. Interprète graphiquement ce résultat.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=x^2-5x+4\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\). On rappelle que \(g\circ f\) est la fonction \(x\mapsto g(f(x))\) et que \(f\circ g\) est la fonction \(x\mapsto f(g(x))\).

1) Donne l'ensemble de définition de \(f\), celui de \(g\), puis celui des fonctions \(f+g\) et \(f\times g\). Calcule les images de 2 par \(f+g\) et par \(f\times g\).

2) Détermine l'ensemble de définition et l'expression de la fonction \(\dfrac{f}{g}\). Soit \(q\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(q(x)=x^3-5x^2+4x\). Les fonctions \(\dfrac{f}{g}\) et \(q\) sont-elles égales ? Que représente \(q\) pour \(\dfrac{f}{g}\) ? Donne enfin l'ensemble de définition de \(\dfrac{g}{f}\).

3) Détermine l'ensemble de définition de \(g\circ f\) et l'expression de \(g\circ f(x)\), puis résous l'équation \(g\circ f(x)=\dfrac{1}{10}\).

4) Détermine l'ensemble de définition de \(f\circ g\) et l'expression de \(f\circ g(x)\), puis résous l'équation \(f\circ g(x)=0\). Les fonctions \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont-elles égales ? Justifie.

5) Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(4\lt a\lt b\). Démontre que \(f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-5)\), puis que \(0\lt f(a)\lt f(b)\). Déduis-en le sens de variation de \(g\circ f\) sur \(]4\,;+\infty[\).

Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax+b\). On cherche d'abord les fonctions affines qui vérifient \(f\circ f(x)=4x+9\) pour tout réel \(x\), puis on étudie l'une d'elles. Le plan est muni d'un repère orthonormé et \((\Delta)\) désigne la droite d'équation \(y=x\).

1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f\circ f(x)=a^2x+ab+b\).

2) Détermine toutes les fonctions affines \(f\) telles que \(f\circ f(x)=4x+9\) pour tout réel \(x\), et vérifie tes réponses.

3) Dans la suite, \(f(x)=2x+3\). Démontre que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), donne l'expression de \(f^{-1}(x)\) et vérifie que \(f\circ f^{-1}(x)=x\) et \(f^{-1}\circ f(x)=x\) pour tout réel \(x\).

4) On note \((D)\) la courbe de \(f\) et \((D')\) celle de \(f^{-1}\). Comment obtient-on \((D')\) à partir de \((D)\) ? Donne les coordonnées de l'image \(A'\) du point \(A(0\,;3)\) de \((D)\) et vérifie que \(A'\) est sur \((D')\). Détermine le point commun à \((D)\) et à \((D')\) et vérifie qu'il est sur \((\Delta)\).

5) Pour tout réel \(x\), on pose \(h(x)=(2x+3)^2\). Calcule \(h(-1)\) et \(h(-2)\) : l'application \(h\) de \(\mathbb{R}\) dans \([0\,;+\infty[\) est-elle une bijection ? On note \(k\) la restriction de \(h\) à l'intervalle \(I=\left[-\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[\). Démontre que \(k\) est une bijection de \(I\) dans \([0\,;+\infty[\), donne l'expression de \(k^{-1}(x)\) et calcule \(k^{-1}(49)\).